Timbre hongrois. Bolyai : géomètre  hongrois considéré par Gauss comme un génie de premier ordre.

Mutaciones de Bolyai (1802-1860)
    Mediante cortes sucesivos

Transformar un triángulo en un paralelogramo de la misma base (dos casos)

Transformar un paralelogramo en otro paralelogramo (tres casos)
Transformar un polígono en un triángulo


En cada caso, las dos figuras en cuestión tienen el mismo área.

En el último siglo, se han preocupado de saber cómo cortar una forma dada para recubrir con ella exactamente otra del mismo área.
Bolyai fue sin duda el primero en demostrar que si nos dan 2 polígonos del mismo área, existe un recortado de uno de ellos que permite reconstituir el otro.
Vamos a ver aquí abajo las diferentes etapas animadas de esta transformación.

Basta con hacer clic sobre la lupa encima del encuadre para ver la animación en pantalla completa.

Transformar un triángulo en un paralelogramo de la misma base y del mismo área

Primer caso
el triángulo tiene un lado paralelo al otro lado del paralelogramo
Basta con cortar el triángulo según una paralela a la base común a medio camino y con hacer pivotar el trozo superior.

 

 

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Segundo caso
el triángulo tiene justamente una base común con el paralelogramo
Basta con cortar el triángulo según una paralela a la base común a medio camino entre el vértice y la base, luego  partiendo del vértice trazar una paralela al otro lado del paralelogramo.
 

 

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Transformar un paralelogramo en otro paralelogramo del mismo área

Primer caso
los dos paralelogramos tienen una base común, la misma altura y los otros dos lados se superponen.
Basta con un solo corte que se traslada.


                                                    

 

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Segundo caso
los dos paralelogramos tienen una base común, la misma altura y los otros dos lados no se superponen.
Se lleva el segundo sobre el primero y se trazan unas líneas de corte paralelas a los lados inclinados.
Basta entonces con trasladar los cortes para transformar el primer paralelogramo en el segundo.

 

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Tercer caso
los dos paralelogramos no tienen base común.
Se construye un paralelogramo intermediario que tenga un lado común con cada uno de los dos.
Se superponen. Un lado del segundo se apoya sobre 2 lados opuestos del primero.
Cuando se tiene una base común, las alturas relativas a esta base son de la misma medida pues los dos paralelogramos tienen el mismo área.


 

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Transformar un polígono en un triángulo del mismo área


Se puede reducir el número de lados de un polígono para obtener un triángulo del mismo área. Se delimita un triángulo con 3 vértices vecinos.
Se le corta para formar otro triángulo (de la misma altura relativa a la base común) en el que uno de los lados prolonga uno de los dos lados vecinos del polígono.
Aquí abajo se ve el recortado de un cuadrilátero en un triángulo.
Para un polígono cualquiera, bastaría con... volver a comenzar el procedimiento sobre los otros lados.

 

 

 

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De forma general


Dados dos polígonos del mismo área, se puede cortarlos para transformarlos en dos triángulos.
Estos triángulos pueden entonces ser transformados en paralelogramos que tengan la misma base, como hemos visto arriba.
Los dos paralelogramos enseguida son transformados uno en el otro, como hemos visto igualmente.
Por último por superposición de todos estos cortes, llegamos a transformar un polígono en otro.

Sin embargo, el número de piezas es en general muy grande. También será interesante sacar provecho de los casos particulares.
Veremos por ejemplo como utilizando el teorema de Pitágoras, se puede trabajar simplemente sobre transformaciones de cuadrados.

                                                                                                   

 
 

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