Même loi, même espérance

Le problème Sur l'idée du G199 de Diophante.fr

Sur l'intervalle [0,1], on choisit au hasard* successivement n points, indépendamment les uns des autres, d'abscisses respectives U1 ,U2,....Un
On considère les deux variables aléatoires discrètes X et Y suivantes :
- X est l'indice de la variable Ui qui pour la première fois est strictement supérieure à la variable Ui-1 qui la précède.
- Y est l'indice de la variable Ui telle que pour la première fois la somme des variables U1 à Ui est strictement supérieure à 1.
Démontrer que les deux variables X et Y ont même loi de probabilités et calculer leur espérance mathématique.

* Nota: loi de distribution uniforme des variables Ui sur [0,1].

ANIMATION

Dans l'animation

- CHOISIR d'abord le problème à modéliser : la variable aléatoire X ou Y. Utiliser les flèches du bouton a ucentre de l'écran.
  Cliquer le bouton GO ensuite.

- Choisir le mode d'exécution : MANUEL, AUTOmatique ou ULTRA Rapide.

En mode MANUEL,
      Le bouton fléché lance un nouveau tirage dans l'expérience en cours.
    jusqu'à ce qu'on réalise la contrainte définie dans le problème choisi.
   -> le bouton CONTINUER lance une nouvelle expérience.

En mode AUTO,
- le déroulement se fait de façon automatique, chaque tirage est modélisé et visible.

En mode ULTRA rapide,
- les calculs effectués mais les tirages ne sont pas visibles ceci afin d'accélérer la procédure.
   Utiliser ce mode pour de très nombreuses expériences.

- Le bouton RAZ réinitialise complètement les choix.

- Enfin dans les deux cas, on peut moduler la vitesse d'exécution.


CLIQUER puis OUVRIR puis DOUBLE CLIQUER le fichier





ANALYSE et résultats

On se rend que l'espérance pour les deux problèmes
est le nombre de Neper : e ~ 2.71828182846...

Essayer de faire un maximum d'observations avant d'aller ci-dessous pour en savoir un peu plus :
chez Diophante ICI.

DÉMONSTRATION mathématique



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