Carrés

L'abaque suivant permet de calculer facilement les carrés des nombres entiers avec des additions.

Il suffit de remplir le tableau de gauche à droite en suivant les flèches.
Chaque nombre de la deuxième ligne est obtenu en ajoutant ceux qui sont sur sa flèche.
La deuxième ligne donne les carrés des nombres de la première ligne.

Par exemple :
42 = 9 + 3 + 4
Donc
42 = 16 .

Principe : n2 = (n-1)2 + (n-1) + n .

 

Si l'on connaît la méthode pour élever au carré un nombre qui se termine par 5,
on peut aussi trouver mentalement le carré d'un nombre quelconque.

Voir la méthode en vidéo ICI

Truc : pour calculer de tête le carré d'un nombre se terminant par 5.
On prend le nombre de dizaines multiplié par son successeur.
Cela donne le nombre de centaines du résultat.
On écrit alors 25 à droite du nombre de centaines pour obtenir le résultat.

Exemples :
35 est composé de 3 dizaines et 5 unités, son carré s'obtient :
      nombre de centaines : 3*4=12, le carré est 1225
65 est composé de 6 dizaines et 5 unités, son carré s'obtient :
       nombre de centaines : 6*7=42, le carré est 4225
105 est composé de 10 dizaines et 5 unités, son carré s'obtient :
       nombre de centaines : 10*11=110, le carré est 11025

Justification
Soit (10d + 5) le nombre qui s'écrit avec d comme nombre de dizaines et 5 comme chiffre des unités.
Avec 45 par exemple, nous avons d = 4 et avec 235 nous avons d = 23.
Alors
(10d + 5)² = (10d)² + 2x10dx5 + 5²
(10d + 5)² = 100d² + 100d + 25
(10d + 5)² = 100d(d+1) + 25
Le résultat a pour nombre de centaines le produit d(d+1).
On écrit 25 à droite du produit d(d+1) et on obtient donc le résultat final.


Application avec un nombre quelconque ne se terminant pas par 5 :
il suffit de se ramener avec une addition ou une soustraction à un nombre se terminant par 5 voire par 0.
Il faut alors utiliser les identités remarquables et être bon en calcul mental.

Exemples :
83² = (80 + 3)² = 80² + 2x3x80 + 3² = 6400 + 480 + 9 = 6889. Ici il est inutile d'utiliser 85²
Mais on pourrait faire 83² = (85 - 2)²= 85² - 2x2x85 + 4 = 6889
87² = (85 + 2)² = 85² + 2x2x85 + 2² = 7225 + 340 + 4 = 7569
et
88² = (85 + 3)² = 85² + 2x3x85 + 3² = 7225 + 510 + 9 = 7744
Ce dernier exemple peut aussi être traité ainsi : 88² = (90 - 2)² = 8100 -2x2x90 + 2² = 7744.
En général on préfère utiliser une addition.

Autre truc : pour multiplier deux nombres de deux chiffres dont les dizaines sont égales et dont la somme des chiffres des unités est 10.
Exemple :
47 x 43 = 2021 (car 4x(4+1) = 20 et 7x3=21)
36 x 34 = 1224 (car 3x(3+1) = 12 et 6x4=24)
51 x 59 = 3009 (car 5x(5+1) = 30 et 1x9=09)

Justification
Soit d le nombre de dizaines et u le chiffre des unités du premier nombre.
Le produit est donc
(10 d + u) (10d + (10 - u))) = 100d2 + 10du + 100d + 10u -10du -u2
(10 d + u) (10d + (10 - u))) = 100d2 + 100d + 10u - u2
(10 d + u) (10d + (10 - u))) = 100d(d+1) + u(10-u)


Exemple avec un nombre de 3 chiffres :
126 x 124 = 15624 (car 12x(12+1) = 156 et 6x4=24)
 

Exemples de nombres quelconques :
Par exemple :
262 = 625 + 25 + 26
Donc
262 = 676

  Une autre exploitation
connaissant le carré de 40, retrouver le carré de 39 par soustraction :
 

Par exemple :
392 = 1600 - 40 - 39
Donc
392 = 1521

Principe : n2 = (n+1)2 - (n+1) - n .

 

 

  Cubes

L'abaque suivant permet de calculer facilement les cubes des nombres entiers par des additions.

 

.Les deux premières lignes sont assez simples à suivre.
.Pour la troisième ligne voici trois exemples :
126 est obtenu en ajoutant 90 et 36 comme l'indique la flèche arrivant dessus ;
168 est 126 + 42 ; et enfin 330 = 270 + 60.
.Pour la quatrième ligne on suit de même les flèches :
ainsi 23
(4ème ligne, 2ème colonne) c'est : 8 = 6 + 1 + 1
43 c'est 64 = 36 + 27 + 1
puis 73 c'est 343 = 126 + 216 + 1
 

Pour les plus grands...
Une idée pour démontrer la validité de l'abaque ci-dessus : exprimer le terme de rang (n+1) de la suite U en fonction de n...

 

 

 
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