Un triangle au hasard sur un cercle




Le problème

Trois points sont choisis au hasard sur un cercle.
Quelle est la probabilité que le triangle ayant ces trois points comme sommets contienne le centre du cercle ?

Qu'en est-il avec quatre points choisis au hasard sur une sphère ?
Quelle est la probabilité que le tétraèdre construit avec ces quatre sommets contienne le centre de la sphère ?




ANIMATION pour expérimenter et réfléchir

L'animation suivante simule la situation.

- Choisir le nombre d'expériences à effectuer.

- On peut utiliser le mode ultra rapide qui donne directement le résultat.

- On peut également VOIR les triangles construits petits à petit avec trois sommets choisis au hasard sur le cercle.


PLEIN ECRAN

 

SOLUTION

1°)

Choisissons deux points P1 et P2 au hasard sur le cercle.

Construisons les deux diamètres passant par P1. et P2.

Maintenant prenons un point P3 aléatoire sur le cercle.
Si P1. et P2 sont fixés, nous pouvons noter que si P3 se trouve sur une portion particulière du cercle, le triangle contiendra toujours le centre du cercle.

Cette portion est obtenue facilement en construisant les deux diamètres passant par P1 et P2.
Il s'agit de l'arc vert limité par P'1. et P'2. de la figure ci-contre.
Ces deux diamètres partagent le cercle en quatre arcs.

Et le triangle de sommets P1, P2 et P3 contient le centre du cercle si et seulement si P3 est sur l'arc vert de la figure : arc opposé à l'arc P1P2.

Quand P1 et P2 sont fixés, tous les points du cercle étant équiprobables, la probabilité que P3 soit dans cet arc est égale au rapport de la longueur de cet arc par la circonférence du cercle.
C'est la proportion que représente la longueur l'arc par rapport au périmètre du cercle.
Cela dépend des deux points P1 et P2.

Il nous faut tenir compte de toutes les positions des points P1 et P2.
Si les deux diamètres sont orthogonaux, nous aurons 1/4.

Si les deux points
P1 et P2 sont très rapprochés, la proportion diminue.

Si les deux points s'éloignent l'un de l'autre, la proportion augmente.

Cependant tous les points du cercle sont équiprobables.
Il nous faut trouver la proportion moyenne de l'arc vert par rapport à la circonférence du cercle.

Nous déterminons ainsi quatre arcs sur le cercle.

Chaque angle au centre qui intercepte cet arc, est équiprobable. On a autant de chances d'avoir un angle de 10°, qu'un angle de 90° ou un autre angle quelconque entre 0° et 180°.
Comme nous avons quatre arcs, cela signifie que la valeur moyenne d'un arc, est le quart de celle du cercle entier (raison de symétrie).
La longueur moyenne de chacun des quatre arcs est 1/4 de celle du cercle entier.

La probabilité que le triangle, ayant trois sommets aléatoires sur le cercle, contienne le centre du cercle est de 1/4.

.
2°)

Qu'en est-il avec quatre points choisis au hasard sur une sphère ?
Quelle est la probabilité que le tétraèdre construit avec ces quatre sommets contienne le centre de la sphère ?

Si nous fixons trois des quatre points sur la sphère : P1, P2 et P3, nous pouvons dessiner les trois diamètres de la sphère issus de ces points.

On peut dessiner les plans et sections de (grand) cercle correspondant aux couples de diamètres.
Nous obtenons ainsi trois plans qui partagent la sphère en huit "triangles sphériques".

Comme ci-dessus, le tétraèdre contiendra le centre de la sphère si et seulement si le quatrième sommet est dans le triangle sphérique du côté opposé aux trois points P1, P2 et P3.

Pas très facile d'établir sa proportion par rapport à celle de la sphère.
On peut bien entendu faire des calculs d'intégrales en 3D...
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MAIS, reprenons le problème précédent de façon légèrement différente
au lieu de travailler avec les points, nous allons choisir les diamètres déterminés par les points P1 et P2 choisis aléatoirement sur le cercle.

En 2D

Pour chaque diamètre, nous avons une chance sur deux de choisir un des deux demi-cercles déterminé par ce diamètre.
Or, un secteur angulaire et donc un arc, est déterminé de façon unique par l'intersection de deux demi-cercles.
Chaque couple de deux demi-cercles a une chance de 1/2 * 1/2 = 1/4 d'être choisi.

Chaque arc a une chance sur quatre d'être choisi.
Et la probabilité d'obtenir le bon arc est de 1/4.
La probabilité pour que le triangle P1, P2, P3
contienne le centre du cercle est de 1/4.

En 3D

Trois diamètres équiprobables, pris au hasard,
Les trois diamètres partagent la sphère en huit régions en forme de triangles sphériques.
L'un d'entre eux est le bon pour placer le point P4 (peu importe où à l'intérieur).

Il s'agit de déterminer la probabilité que le bon triangle sphérique soit choisi.


Reprenons les diamètres passant par les points P1, P2, P3 deux par deux.
Nous avons trois possibilités de choisir un couple de diamètres.

Chaque couple de diamètre détermine un plan qui coupe la sphère en deux demi-sphères.
Chaque demi-sphère a la même chance d'être choisie, donc une chance sur deux d'être choisie.

Le bon triangle sphérique sera l'un des huit triangles sphériques déterminés par l'intersection de trois demi-sphères.
Il a donc une chance de 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8 d'être choisi.

Chaque région a une chance sur huit d'être choisie.

Et la probabilité cherchée est 1/8.

La probabilité que le tétraèdre, construit avec ses quatre sommets pris au hasard sur une sphère, contienne le centre de la sphère est de 1/8.

 


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