Le triangle équilatéral

Construction à la règle et au compas
Il est facile de construire un triangle équilatéral avec un côté de longueur r imposée, à la règle et au compas :
deux cercles de même rayon r suffisent.

Construction d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle
Il est aussi facile de construire un triangle équilatéral inscrit dans un cercle donné en utilisant l'hexagone régulier.

Construction d'un triangle en pliant un rectangle quelconque
Bien que la méthode soit moins connue, on peut aisément obtenir un triangle équilatéral à partir d'une feuille rectangulaire quelconque.
Trois plis suffisent.

Petite explication


Dans le triangle ACB, la droite (HD) médiane du rectangle
est parallèle à (AC) et passe par le milieu de [CD],
c'est donc la droite des milieux dans le triangle ACB.
Il s'ensuit que H est le milieu de [AB]
et que la hauteur aboutissant en H est aussi médiane.
Le triangle vert est donc isocèle.
Cette hauteur par construction correspond à la largeur du rectangle.

Le triange isocèle en K, a deux hauteurs de même mesure
dont une issue du sommet principal, il est donc équilatéral.
Je laisse à votre réflexion,
cette dernière affirmation qui est très simple à démontrer.

Partage d'un triangle en trois ou quatre triangles équilatéraux
Comment partager un triangle équilatéral en quatre triangles équilatéraux superposables ?
La méthode est généralisable à un triangle quelconque.
Mieux... on peut partager le triangle en trois triangles équilatéraux également superposables.

Quelques propriétés


Les trois hauteurs sont de même mesure.
Elles sont tout à la fois :
hauteur, médiane, bissectrice, médiatrice.

h = a ;

BH= HC = a / 2 .


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