Un triangle avec trois nombres aléatoires ?


Le problème
On tire 3 nombres réels au hasard, entre 0 et un maximum donné (ici arbitrairement le maximum est fixé à 370) .
Quelle est la probabilité pour que ces 3 nombres soient les longueurs d’un triangle non aplati ?


Modélisation
Choisir en cochant la case adéquate :
-simulation avec construction des triangles ou
-NON
.

Choisir le nombre d'expériences à réaliser*.

Si on trace les triangles, on peut moduler la vitesse de tracé avec le curseur Vitesse.
Pour des raisons pratiques d'affichage, seules deux décimales des longueurs sont affichées.
Cependant, elles sont toutes calculées dans le tirage et effectives dans le tracé.


On peut visualiser
- la construction pas à pas des triangles OU bien visualiser
- les points de coordonnées x , y et z correspondant aux longueurs des côtés.
Il s'agit d'une coupe arbitraire réalisée avec une longueur z à choisir pour comprendre le résulat final.

Cependant les résultats sont simulés et calculés avec les différentes valeurs aléatoires de z.

Les points sont verts quand le triangle est constructible, rose foncé quand ce n'est pas possible.

Notons que lorsque z est nul, la surface verte devient un segment : la diagonale du carré.
Lorsque z atteint la limite maximale, la surface verte devient triangulaire : un demi-carré.
En répétant la simulation, on peut deviner ainsi la forme du solide constitué des triplets (x, y, z) permettant la construction d'un triangle.

500 000 points donnent une bonne représentation.

*ATTENTION à bien appuyer la touche ENTREE pour valider les valeurs numériques frappées,
si l'on choisit d'indiquer le nombre d'expériences ou le niveau de coupe en Z au clavier.

PLEIN ECRAN


Analyse
Choisissons comme unité de mesure la longueur maximale.
On obtient ainsi simultanément trois morceaux de longueurs respectives x, y et z.

L a condition de constructibilité d'un triangle donné par 3 longueurs prises entre 0 et 1 se traduit par les conditions :
| x - y | < z < x + y pour (x,y,z) dans [ 0,1 ]3.

FINALEMENT :
Pour chaque z trouvé,
0 < x < 1,
0 < y < 1,

x + y - z > 0,
si x > y, x - y - z < 0,
si x < y, y - x - z < 0,
donnent l'ensemble les cas favorables à chaque niveau du solide cherché.

C'est la zone verte de la figure ci-dessous.

L'aire de cette surface en fonction de z est :
A(z) = 1 - z²/2 - 2 (1 - z)² / 2
soit
A(z) = 2 z - 3z²/2.

Toutes les surfaces empilées donnent un hexaèdre contenu dans le cube unité.
Les points de coordonnées (x,y,z) doivent être dans cet hexaèdre pour que le triangle de côtés x, y et z soit constructible : cas favorables.


Pour trouver le volume de l'hexaèdre, nous allons intégrer la surface A(z) par rapport à z qui varie de 0 à 1.
V = = = 1 - 1/2
   = 1/2.

Le cube unité représente l'ensemble de tous les cas possibles.

La probabilité se traduit par le rapport des volumes : p = 1/2
soit
p = 50%.

La probabilité de construire un triangle dont les longueurs des côtés ont été choisies au hasard parmi les nombres compris entre 1 et L est de 50%.




L'hexaèdre à animer en mode AUTO, CLAVIER ou SOURIS
Cliquer le bouton adéquat pour que l'hexaèdre aient des faces coloriées différemment ou non.

PLEIN ECRAN


On peut d'ailleurs vérifier que le volume de l'hexaèdre est bien exactement la moitié de celui du cube unité : il est obtenu en coupant le cube unité par les trois plans obliques d'équations :
z = x + y ;
y = x + z ;
x = y + z.

Ainsi on enlève au cube unité trois pyramides dont chacune a pour base un triangle rectangle isocèle de côté 1 (sur l'angle droit) et pour hauteur 1.

Chaque pyramide a pour volume (1²/2)/3 = 1/6.
Les trois pyramides ont un volume de 3(1/6) = 1/2 et enfin l'hexaèdre a un volume de 1 - 1/2 = 1/2.

La boucle est bouclée. Hum... disons le triangle est clos.



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