Triangle équilatéral d'Abu al-Wafa

Abu al-Wafa (vers 940-998), né dans une famille de Taif, est initié aux mathématiques par ses oncles.
Il se rend à Bagdad vers 959 et y reste définitivement. Il devient un très grand astronome et mathématicien.
Son œuvre nous est connue grâce à une traduction persane incomplète.

Il travaille à la Maison de la sagesse où il traduit entre autres Diophante et Hipparque.
Il s'intéresse à l'astronomie (notamment aux mouvements de la lune).
Il maîtrise déjà la numération de position mais ne présente pas ces techniques jugées trop difficiles pour son public.
Il connaît les nombres relatifs (avec les dettes).

Il s'illustre particulièrement en trigonométrie, en géométrie.
Dans son livre "Sur l'indispensable aux artisans en fait de construction",
il s'intéresse aux polyèdres et aux constructions à la règle et au compas.
Il apprécie surtout les constructions avec un compas d'écartement constant.

Problème

Comment inscrire un triangle équilatéral dans un carré de façon symétrique par rapport à la diagonale du carré ?
Nous verrons inversement comment construire un carré circonscrit de façon symétrique autour d'un triangle équilatéral.


Solution animée
Voici pas à pas la construction élégante proposée par Abu al-Wafa.

PLEIN ECRAN

-On construit le centre O du carré ABCD à partir des deux diagonales [AC] et [BD].
-On construit le cercle circonscrit au carré : centre O et rayon OA.
-On construit le cercle de centre D passant par O.
Ce cercle coupe le cercle circonscrit en E et F.
Les droites (EB) et (FB) coupent les côtés [AD] et [DC] du carré respectivement en G et H.
Le triangle BGH est équilatéral et symétrique par rapport à la diagonale [BD].

Démonstration

La symétrie par rapport à (BD) est obtenue par construction.
Le triangle BGH est donc isocèle.

Montrons que le triangle BGH est équilatéral
.
Il suffit de montrer que dans le triangle BGH l'angle en B a pour mesure 60°.
Les deux autres auront alors également pour mesure 60°.

Par construction des deux cercles de même rayon OD, le triangle EDO a trois côtés de même mesure : OD. Il est donc équilatéral et ses trois angles mesurent 60°.
Il en est de même du triangle FDO.

L'angle EOF mesure 120° (somme de deux angles de 60°).
Cet angle est angle au centre dans le cercle circonscrit au carré.

L'angle EBF est angle inscrit dans le cercle circonscrit au carré
et intercepte le même arc que l'angle au centre EOF.

On en déduit que la mesure de EBF est la moitié de celle de EOF
donc 120°/2 soit 60°.


On déduit aisément que le triangle BGH (isocèle par construction) est équilatéral.



Inversement
Voici pas à pas la construction permettant de construire le carré cicrconscrit autour d'un triangle équilatéral.

Cette construction résulte du fait que le triangle GDH est rectangle isocèle et donc inscriptible dans un cercle de centre I milieu de de [GH].

PLEIN ECRAN

On peut noter que l'angle l'angle BHC mesure 180° - 90° - 45° soit 75°
et que l'angle HBC mesure 180° - 90° - 75° soit 15°.

 


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