Le paradoxe du surplomb
Le problème

Il s'agit d'empiler des briques ou des dominos ou des sucres les uns sur les autres.
Le but est de créer le surplomb maximal.
Bien entendu, on n'utilise ni colle ni de béton.
L'empilement doit se maintenir seul, et toutes les briques sont parallèles entre elles.
On cherche l'empilement qui permet d'obtenir la voûte la plus large possible.

Dans l'animation nous pouvons

- CREER
une brique au top de la construction ;
- SUPPRIMER
une brique en haut de la pile ;
- T
out effacer avec le bouton Raz.

On peut déplacer la brique du haut
- avec la SOURIS
ou bien
- au CLAVIER avec les flèches gauche et droite. On a ainsi une bien plus grande précision.

Il est recommandé de commencer le déplacement avec la souris puis d'affiner avec le clavier.

Quand la brique devient rouge, l'équilibre est rompu, il faut effacer la brique ou si c'est possible la déplacer vers la droite.

La brique de l'animation a une largeur de 200.
A chaque fois la longueur du surplomb est indiquée avec précision.

Explications et résultats

La recherche du surplomb maximum avec des briques, des dominos ou des sucres est un subtil problème d'équilibre.
Nous allons d'abord essayer de comprendre comment deux briques peuvent tenir l'une sur l'autre, puis trois...

On suppose que toutes les briques sont identiques.

Soit d la largeur d'une brique ; h la hauteur de chaque brique, et enfin m sa masse.

La brique N° n : Bn possède un centre de gravité Gn en son milieu. Son abscisse st donc xn.
Cette brique possède un surplomb de dn par rapport à la brique Bn-1 qui est au-dessous.

Dans le cas de

- deux briques, le surplomb est maximal si la brique du dessus dépasse de d/2 la brique du dessous.

Exemple avec une brique de largeur 200 :



- trois briques, le raisonnement est identique, mais nous devons tenir compte de la masse des deux briques du dessus.
Le centre de gravité de l'ensemble des deux dominos du dessus (situé à la distance 0.75* d de la gauche, soit ici 150 du bord gauche,
ne doit pas dépasser de d/2 le bord gauche de la brique du bas.

Position maximale en prenant le résultat précédent pour les briques du dessus :

Le centre de gravité de ces trois briques est maintenant celui des deux briques vertes (masse 2m) et de celui de la brique grise du bas de masse m.
Il est situé à (d/2)/3 = d/6 du bord gauche de la base de ce bloc de 3 briques.

Le centre de gravité a pour position extrême le bord gauche de la brique du socle.

Ceci donne un surplomb de :
0.5*d + 0.25*d + d/6 = 11/12 *d
Ainsi pour une brique de largeur 200, on obtient avec ces 3 briques un surplomb de 183.3 ... approchant déjà la largeur d'une brique !

Dans l'animation je mesure les déplacements à 0.05 pixel près.

Equilibre à exactement 108+1/3 :


Déséquilibre à 183.35 :


Avec 4 briques, nous dépassons la largeur d'une brique !


C'est exactement 208 + 1/3.
0.5*d + 0.25*d + d/6 + d/8 = 25/24 *d


Autres exemples de résultats obtenus :




Rien ne sert de courir vite au départ... il faut démarrer doucement...

On pourrait faire légèrement mieux en théorie avec 385.44... pour 26 briques.
La différence est due à la précision choisie dans l'affichage : à 0.05 pixel près.
Impossible physiquement de faire mieux.
Cela diminue légèrement l'optimalité à chaque étage.




Pour une brique de longueur égale à l'unité

Nous avons avec 3 briques, à la limite du basculement, un surplomb de :
1/2 +1/4 +1/6
;

Avec 4 briques, le surplomb dépasse 1, car 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 = 1,041 ;
.
.
Avec 31 briques, il dépasse 2.
Pour un surplomb plus grand que 3, il faut 227 briques.
Pour un surplomb de plus de 10, il faut disposer soigneusement 272 400 600 briques





Et ainsi de suite... on obtient la "série harmonique" qui tend vers l'infini mais... très lentement :
1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/(2n) = 1/2 (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)

Ce qui est extraordinaire est qu'avec cette méthode on peut obtenir un surplomb aussi grand que l'on veut.

MAIS il faudra peut-être utiliser une quantité énorme de briques.

On choisit de décaler la brique la plus élevée de la moitié de sa longueur par rapport à celle qui est juste en dessous.
Cette dernière est décalée de 1/4 de sa longueur par rapport à la précédente, elle-même décalée de 1/6, etc.

Bien sûr, cet empilement est dans un équilibre peu stable.
Il suffit de diminuer très légèrement le surplomb à chaque étage pour augmenter la stabilité de l'édifice.

Le paradoxe du surplomb infini

La somme des n premiers termes de cette série nommée harmonique, 1 + 1/2 + 1/3 + ... ,
- vaut à peu près ln(n) : le logarithme de n
- tend, lentement, mais c'est certain, vers l'infini.

Cf
http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.htm
l

ou
https://www.math.dartmouth.edu//~pw/papers/sodaproc2.pdf


En prenant assez de briques, le sommet d'une pile se trouve donc en surplomb d'une longueur aussi grande qu'on le désire.

Le nombre a (n) de briques nécessaires pour atteindre le surplomb n est donné par la suite
A014537 de l'encyclopédie des suites de Sloane (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A014537).

Un petit calcul montre que pour augmenter la longueur du surplomb d'une brique, il faut multiplier le nombre de briques par environ
e2= 7,389...

Martin Gardner, qui présenta cet empilement dans Scientific American en novembre 1964,
le désigne par le « paradoxe du surplomb infini ».

Considérer l'empilement avec la série harmonique comme le meilleur possible semblait admis.
Peut-être ferez-vous mieux...

CF aussi
http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article-surplombs-maximaux-18382.php


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