Un triangle pour un spaghetti coupé en trois ?


Le problème

On coupe au hasard un spaghetti en trois parties.
Quelle est la probabilité de pouvoir réaliser un triangle avec les 3 morceaux obtenus ?

Modélisation

Méthode choisie :
on détermine de façon aléatoire deux points sur le spaghetti et on coupe.
Les trois morceaux ainsi obtenus sont de longueur parfaitement aléatoire.

Pour des raisons pratiques d'affichage, seules deux décimales des longueurs sont affichées.
Cependant, elles sont toutes calculées dans le tirage et effectives dans le tracé.


On peut visualiser
- la construction pas à pas des triangles OU bien visualiser
- les points de coordonnées x et y correspondant aux coupes.

Les points sont verts quand le triangle est constructible, rose foncé quand ce n'est pas possible.

50 000 points donnent une bonne représentation.

*ATTENTION à bien appuyer la touche ENTREE pour valider le nombre, si l'on choisit d'écrire le nombre d'expériences avec le clavier.


PLEIN ECRAN


Analyse

Choisissons comme unité de mesure la longueur du spaghetti.
On obtient ainsi simultanément trois morceaux de longueurs respectives x, y et z.

Si z est le plus grand des côtés alors pour que le triangle soit constructible,
il faut avoir l'inégalité triangulaire : z < x + y.
Par ailleurs, x < z donc x < y + z.
De même
, y < z et donc y < x + z.

Par symétrie et ce quel que soit le plus grand côté,
pour obtenir un triangle (non aplati), les inégalités triangulaires suivantes, doivent être vérifiées simultanément :
x < y + z ,
y < x + z ,
z < x + y.

On a :
z = 1 - x - y
et les inégalités ci-dessus conduisent à :
x < y + z , soit x < y + 1 - x - y ou 2x < 1 et
x < 1/2.
Et par symétrie :
x < 1/2 et z < 1/2.

FINALEMENT :
x > 0,
y > 0

1 - x - y > 0

donnent l'ensemble des possibilités.

Et :
x < 1/2

y < 1/2
x + y > 1/2

donnent l'ensemble des cas favorables.


Nous obtenons un problème de régionnement du plan.

Dans le repère (Ox, Oy), traçons les droites
(d1) d'équation : x + y = 1 soit y = 1 - x,
et
(d2) d'équation : x + y = 1/2 soit y = 1/2 - x.

La probabilité se traduit par les aires : p = 1/4 soit 25%.
L'aire verte correspondant aux cas favorables, l'aire totale (cas possibles) correspondant
au demi-carré de côté 1.




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