Visualiser la somme des carrés des entiers
Nombres pyramidaux


  La somme des carrés des entiers
Constituons un pyramidal en empilant quatre étages carrés.
Nous avons un carré de 1 case, puis un carré de 2² = 4 cases,
puis de 3² = 9 cases et enfin de 4² = 16 cases.
PLEIN ECRAN
Le déplacement de la souris modifie la direction du mouvement.
Cliquer le pyramidal pour stopper le mouvement.
Recliquer pour redémarrer.

Maintenant, comme dans un puzzle 3D, agençons six pyramidaux pour reconstituer
un parallélépipède rectangle de dimensions 4, 5 et (2 x 4 + 1 =) 9.
Nous obtenons alors :
12 + 22 + 32 + 42 = ( 4 x 5 x 9 ) / 6

PLEIN ECRAN


De même agençons six pyramidaux constitués
de carrés de 1 à 5² cases.
Nous obtenons un parallélépipède de
dimensions 5, 6 et (2 x 5 + 1 =) 11.

Somme des carrés des 5 premiers entiers

12 + 22 + 32 + 42 + 52 = ( 5 x 6 x 11 ) / 6


Somme des carrés des 6 premiers entiers
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62= ( 6 x 7 x 13 ) / 6

Le procédé se généralise avec un pyramidal obtenu en empilant des carrés de 1 à n² cases.
Six pyramidaux réunis permettent de construire un parallélépipède de dimensions n, n+1 et 2n+1.
Nous obtenons le résultat général :
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 +... + n2 = n (n+1) (2n+1) / 6

L'idée des pyramidaux figure dans le 4ème tome des Récréations mathématiques
d'Edouard Lucas, publié en 1894 (réédité chez Blanchard).
Voici quelques extraits de cet ouvrage.




 


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