La saga des pavages pentagonaux
construits avec des pentagones IRREGULIERS


15 types de pavages construits avec des tuiles pentagonales irrégulières sont actuellement découverts.


Il n'est pas aisé de paver le plan avec des pentagones. On sait que c'est impossible avec des pentagones réguliers.
Cependant nous connaissions déjà 14 modèles de pentagones particuliers pavant le plan.

Le 16 août 2015, trois mathématiciens (Casey Mann, Jennifer McLoud and David Von Derau) de l’Université de Washington Bothell, ont découvert une nouvelle façon de paver le plan en utilisant exclusivement des pentagones.
Sous la direction des deux premiers, le troisième, a écrit un programme qui a découvert un quinzième pavage du plan :
expérimentation et animation pas à pas ICI.



Les 15 pavages pentagonaux interactifs, avec des tuiles irrégulières modifiables

Cliquer le pavage désiré.
Chaque pavage est animé pas à pas.
Le mode AUTO permet de voir défiler la construction du pavage de façon automatique.
Dans le mode MANUEL on avance pas à pas.

Les boutons couleur donnent un coloriage organisé de toutes tuiles
Cependant, chaque tuile peut être coloriée indépendamment des autres en utilisant le bouton couleur en haut à droite :
Choisir avec ce bouton la couleur désirée et cliquer ensuite la ou les tuile(s) à modifier.

Quand les sommets du pentagone de base sont visibles (ils ne le sont pas lors des translations mais réapparaissent à la fin de chaque translation),
on peut déformer le pentagone de base. Il gardera les propriétés liées au type de pavage en construction.

Quand la construction est complète, l' EMPREINTE du pavage est visible et
on peut recommencer en cliquant le bouton fléché à droite en mode AUTO ou MANUEL.

Pavage de type 1





Deux angles supplémentaires
et deux côtés parallèles :
D + E = 180° donc  CD // AE.

Pavage de type 2







Deux angles supplémentaires
et deux côtés égaux :
C + E = 180° ET  AE = DC.

Pavage de type 3





Trois angles de 120° et deux
côtés égaux. :
AB=AE   et  BC+ED=CD.

Pavage de type 4



Deux angles droits et
deux couples de côtés égaux :
A = 90°     et     C = 90° 
EA = AB et  DC = CB.

Pavage de type 5


Deux angles supplémentaires
et deux côtés parallèles :
A = 60° ; C = 120°
EA = AB   CD = CB.

Pavage de type 6




Deux angles
supplémentaires C et E
puis A = 2C
EA = AB = DE et BC = CD.

Pavage de type 7



C + 2B = 2π
et A + 2D = 2π
puis
EA = AB = BC = CD.

Pavage de type 8




2D + C = 2π
et B + 2A = 2π
puis
EA = AB = BC = CD.

Pavage de type 9



B + 2E= 2π
et C + 2D = 2π
puis
EA = AB = BC = CD.

Pavage de type 10




A + D = π ; E = π / 2
et 2C + D = 2π
puis
EA = ED et AB + CD = AE.

Pavage de type 11




C + E = π ; A = π / 2
et 2B + C = 2π
puis
ED = DC et DE = 2 EA + CB.

Pavage de type 12






C + E = π ; A = π / 2
et 2B + C = 2π
puis
CD = 2EA et 2EA = CB + DE.

Pavage de type 13


E = C = π/2 ;
2D = 2A = 2π - B
puis
CD = CB et DE = 2 CD.

Pavage de type 14



D = π/2 ;
2E + A = 2π, C + A = π
puis
CD = AE et AB = BC = 2CD.

Pavage de type 15




A =60°,  B = 135° ,  C = 105°,
D= 90°
et  E = 150°.
AB = CD = DE = EA/2
CB = AB

Un petit effet ressort peut apparaître lors d'un déplacement très rapide des points sur certains pavages
dont les rotations dépendent de l'angle du motif de base (par exemple le pavage de type 6, 12 ou de type 13).
C'est normal, tout se met parfaitement en place lorsqu'on relâche la souris.

Voir aussi le travail de Pierre Crespin sur les pavages ICI :
http://picresp.free.fr/eNETetMATHS/CabriJava/Penta%2015/index%20Penta15.html

OU
http://picresp.free.fr/eNETetMATHS/


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