Un robot à la coupe de pizza


LE PROBLÈME G1911 de Diophante.fr Un robot à la découpe
A PizzaTech les pizzas sont de forme circulaire et elles sont découpées par un robot.
Celui-ci choisit au hasard et indépendamment l’un de l’autre deux points sur la circonférence
de la pizza puis fait une coupe selon la corde qui relie ces deux points.
Q1 Vous demandez une pizza de taille moyenne en spécifiant que le robot réalise exactement trois coupes.
Déterminez l’espérance mathématique du nombre de morceaux qui vous seront servis.
Q2 Vous souhaitez une pizza de très grande taille pour 15 personnes.
Déterminez le nombre de coupes qu’il convient de demander au robot pour obtenir
une espérance mathématique aussi proche que possible de 15 morceaux.
Nota : bien entendu, dans un cas comme dans l’autre, le client admet que les morceaux découpés n’ont pas la même surface.


ANIMATION

Cette animation permet d'observer la variation des nombres de régions convexes selon la configuration
et le nombre de points.

Au début de l'animation, avant de lancer les expériences aléatoires, on peut modifier la position des extrémités
des cordes sur le cercle et observer comment le nombre de régions varie.
En profiter pour observer les relations entre le nombre de régions et le nombre d'intersections des cordes.


        .Mode MANUEL PAS à PAS pour réaliser un nouveau tirage, cliquer le bouton fléché.
        .Mode AUTO effectue automatiquement le comptage des régions avec des différentes configurations aléatoires.
        .Mode RAPIDE donne rapidement, la moyenne du nombre de régions en réalisant le nombre d'expériences aléatoires, demandé.

        .Cliquer ensuite le bouton GO.       

        .CLIQUER le bouton GO Aléas pour lancer l'animation.
                => ALORS, on ne peut plus déplacer les points, ceci afin de ne pas perturber les résultats aléatoires.

        .Le bouton RAZ permet de tout réinitialiser.

        .La VITESSE d'exécution est réglable en mode SIMULATION AUTOmatique.

        Lorsqu'on demande le résultat immédiat (bouton RAPIDE), avec 7 cordes, pour un grand nombre d'expériences, il faut patienter un petit peu...

 

   PLEIN ECRAN

 


ANALYSE


Le nombre moyen de parts (évidemment non identiques), obtenu est (k+2)(k+3)/6, lorsque k est le nombre de coupes du roibot.
Ainsi pour 3 coupes du robot, on a une moyenne de (3+2)(3+3)/6 = 5 morceaux , non identiques évidemment, de pizza.

Pour plus d'explications, voir ma solution en pdf ICI
OU
plusieurs solutions sont proposées chez Diophante.


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