Le nombre d'or (1)

Une droite est dite coupée en EXTREME et MOYENNE RAISON
Lorsque la droite entière est à son plus grand segment ce que
le plus grand segment est au plus petit

                                                             EUCLIDE les éléments

  

Un petit test
Le nombre d'or, définition
Le rectangle d'or, sa spirale
Le triangle d'or, sa spirale, des démonstrations
Un petit tour expliqué pour devenir un génie du calcul...
Le pentagone des Compagnons
3 constructions du pentagone régulier

Quine et nombre d'or
Dans la nature
Autres formats


Pour le fun, déplacer les points rouges ou vert
ou choisir une autre forme.

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      Nombre d'or, Section dorée, Divine proportion et autres apellations mystiques... sont des dénominations qui désignent un rapport arithmétique : le nombre d'or. Ce dernier n'est ni une mesure, ni une dimension, c'est un rapport entre deux grandeurs homogènes.
Jean-Paul Delahaye affirme (pour la Science Août 1999) que le chemin des mathématiques à la numérologie est dangereux parce riche en interprétations...  En effet des milliers de pages ont été écrites sur le nombre d'or, baptisé Φ. Il serait connu depuis la nuit des temps. On le retrouve chez les peintres du début du siècle, dans les cathédrales gothiques, sur les façades des temples grecs et même au cœur de la Grande Pyramide. On dit qu'il aurait été transmis de bouche de pyhtagoricien à oreille d'initié, comme un secret universel et immuable (il n'était pas considéré comme un nombre puisque seuls les entiers sont des nombres chez les grecs). De nombreux tableaux seraient conçus selon les règles de la "divine proportion" (expression datant de 1509 avec Léonard de Vinci).
Parmi les artistes de la Renaissance, Dürer est un de ceux qui connaissait les mathématiques. Il fit évoluer les proportions de "ses nus d'Adam et Eve", entre 1504 et 1507 après avoir été initié à la "secretissima scienta" par un maître dont il ne voulut pas révéler le nom mais qui fut sans doute le frère franciscain Luca Pacioli qui publia en 1494 la grande encyclopédie du XVe siècle.

Dali Sacrement de la dernière Cène 1955

Certains peintres comme Salvador Dali (Sacrement de la dernière cène),
Seurat (le Cirque) ou Mondrian (Composition) l'ont d'ailleurs utilisé par jeu.
Le nombre d'or véritable petit nirvana arithmétique a été une voie privilégiée de communication avec l'au-delà...

Cirque (Musée d’Orsay 1890-1891).
Les lignes horizontales tracées dans le tableau ont des grandeurs proportionnelles à Φ. Il en serait de même pour la loge délimitée par des lignes de couleur rouge vif formant un rectangle d’or. L’utilisation du nombre d’or dans ce tableau est opposée aux lignes courbes du personnage central du tableau ainsi qu’aux autres acrobates. Le nombre d’or met donc en valeurs les lignes géométriques des bancs.

En réalité avec quelques approximations il est très facile d'approcher le nombre d'or.
Marguerite Neveux a démontré qu'en réalité les artistes divisaient leurs toiles en huitièmes, ce qui est très facile, puis en 4/8 et en 5/8 qui est très proche du nombre d'or à 7 millièmes près. Cette petite différence a suffi à créer bien des rêves dorés et à déchaîner des passions qui retombent actuellement (les fractales sont aujourd'hui plus motivantes).
En réalité le format le plus utilisé est le fameux 21/29.7... (A4, A3,...) seul format qui plié en deux garde la même forme : rapport .
Tout de même le nombre d'or a des propriétés mathématiques bien réelles et on le retrouve dès qu'on a une symétrie d'ordre 5. Nous l'avons déjà rencontré avec les
lapins de Fibonacci, dans les morceaux disparus...
Nous allons en découvrir quelques unes de ses propriétés mathématiques.
Si vous ne l'avez pas effectué, n'hésitez pas à faire le petit
test.

Le nombre d'or, définition

Ce nombre est la valeur d'un rapport de deux grandeurs homogènes. Il est déterminé par une proportion :
Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que la grande au tout. (Vitruve, architecte romain 1er siècle avant notre ère).

Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons :
a/b = (a + b) / a.
a/b = 1 + b/a
pour simplifier, prenons comme variable x = a/b.
alors nous obtenons :
x = 1 + 1/x
x - 1 - 1/x = 0
comme x non nul, nous obtenons l'équation suivante que nous noterons
(E) :       x2 - x - 1 = 0
qui admet comme racine positive :
x =
que nous notons Φ et vaut à peu près 1,618....

C'est cette valeur qui est appelée le nombre d'or (dit Φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias qui s'en servit dans les proportions du Parthénon à Athènes.

A ce stade, je vous soumets un petit problème que m'a proposé Dominique Payeur :
Je dispose d'un capital.
Celui -ci augmente deux années de suite du même pourcentage puis diminue la troisième année de ce même pourcentage.
Curieusement je retrouve alors le capital de départ.
Par combien est multiplié le capital la première année ?
Quel est le pourcentage du placement de mon capital les deux premières années ?
Et... quel est le rapport avec le thème de cette page ?


La solution ICI

Nous pouvons d'ores et déjà noter quelques résultats :

Φ2 - Φ - 1 = 0
Φ =
Pour obtenir le carré , on ajoute l'unité : Φ2 = Φ + 1
Pour obtenir l'inverse, on soustrait l'unité : 1/Φ = Φ - 1

On pourrait aussi sans équation du second degré montrer que 1/Φ = Φ - 1.


Des équations précédentes, nous pouvons déduire : x2 = x + 1 et x = 1 + 1/x d'où
et   on a aussi :


Le nombre d’or peut s’écrire à l’aide d’une infinité de radicaux emboîtés

PLEIN ECRAN
Les fractions
PLEIN ECRAN


A l'intérieur du système formé des mesures qui sont des termes d'une suite géométrique de raison
F, les multiplications, divisions, élévations aux puissances et extractions de racines peuvent être remplacées par des additions et soustractions, ce qui rend le calcul abordable à des personnes ne sachant que compter comme c'était le cas dans les systèmes anciens de numération (pensons aux chiffres romains...).  

  

Le rectangle d'or

Un rectangle d'or est un rectangle dont le rapport longueur sur largeur est égal au nombre Φ.
O
n part d'un côté de longueur 1/2 pour construire un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 1 et 1/2.
En utilisant le théorème de Pythagore, l'hypoténuse mesure
.
Il suffit de terminer le rectangle d'or dont les côtés mesurent 1
et Φ = .
Ce rectangle est harmonieux, son équilibre flatte l'oeil et statistiquement il a la préférence lorsqu'on le compare à d'autres rectangles de formes diverses.
 
Voir d'autres formats de rectangles : A4 B5... ICI

PLEIN ECRAN
.

   

La spirale du rectangle d'or
Cette spirale est une 'fausse' spirale parce qu'elle est constituée d'arcs de cercles au lieu d'avoir une variation continue du rayon. Cependant les raccordements des arcs sont parfaits car la condition de tangence est respectée. Les centres des arcs sont à chaque fois situés sur la même droite perpendiculaire à cette tangente. Cette courbe est connue sous le nom de 'spirale logarithmique'. Elle s'enfonce sans fin et tend rapidement vers un point Z autour duquel elle s'enroule de plus en plus près. Ce point est appelé le centre de la spirale. Appelée spirale de Bernoulli, elle a de nombreuses propriétés. L'une d'elles est que le segment de droite qui joint le centre Z à un point de la courbe croît en progression géométrique. La longueur du rayon vecteur est multipliée par le nombre d'or chaque fois que sa direction tourne d'un quart de tour. Par contre l'angle que fait ce segment avec une direction de départ quelconque, croît en progression arithmétique.
PLEIN ECRAN

Si nous traçons une diagonale entre le coin supérieur droit et le coin inférieur gauche, puis entre le coin supérieur gauche et le coin inférieur droit du rectangle d'or plus petit, le point d'intersection est le point de convergence de tous les rectangles d'or plus petits. De plus, le rapport des longueurs de ces deux diagonales est égal au nombre d'or. On appelle quelquefois l'œil de Dieu le point de convergence de tous les rectangles d'or.

Pourquoi une suite de rectangles d'or ?

Le premier rectangle a des côtés de longueur
                                  1 et Φ dont le rapport est Φ.
Le deuxième rectangle a des côtés de longueur Φ
- 1 et 1 soit
                                 1/Φ et 1 dont le rapport est Φ.
Le troisième rectangle a des côtés de longueur
1 - 1/Φ = 1/Φ2, soit
                                 1/Φ2 et 1/Φ dont le rapport est Φ.
Le quatrième rectangle a des côtés de longueur
1/Φ - 1/Φ2 = 1/Φ3 et 1/Φ2, soit
                                 1/Φ3 et 1/Φ2 dont le rapport est Φ.
...
Le nième rectangle a des côtés de longueur

               1/Φn-3 - 1/Φn-2 = (Φ - 1)/Φn-2 = (1/Φ)/ Φn-2 = 1/Φn-1
               et 1/Φn-2, soit
                                 1/Φn-1 et 1/Φn-2 dont le rapport est Φ.

Nous avons donc bien une suite de rectangles d'or. 

Mondrian           
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(1)ROBERT VINCENT Géométrie du nombre d'or éditions chalagam
L'art des batisseurs romans association des amis de l'abbaye de Boscodon
CLAUDE JACQUES WILLARD Le nombre d'or éditions Magnard
JEAN-PAUL DELAHAYE Pour la Science Août 1999
ORTOLI WITKOWSKI La baignoire d'Archimède Sciences
Le nombre d'or Que-sais je ?
LUCAS PACIOLI La divine proportion éditions Navarin
MATILA GHYKA Le nombre d'or éditions Gallimard
WARUSFEL Les nombres et leurs mystères éditions du Seuil
D. NEROMAN Le nombre d'or clé du monde vivant Dervy-livres, 6 rue de Savoie, Paris V

 

Solution du problème du capital

Choissons C la variable désignant le montant du capital et T % le taux (positif) du placement.
Posons t = T/100
. A la fin de la première année le capital a donc augmenté de T %.
Il est devenu :
C + t C soit (1 + t ) C
. A la fin de la deuxième année ce capital (1 + t ) C a encore augmenté de T %.
Il a été multiplié une nouvelle fois par (1+ t ) et est devenu :
(1+ t) (1+ t) C soit (1 + t)2 C
. A la fin de la troisième année le nouveau capital (1 + t)2 C a diminué de T %.
Il a été multiplié par (1 - t) et est devenu :
(1 + t)2 (1 - t) C

Et nous obtenons le capital initial d'où :
(1 + t)2 (1 - t) C = C
Cela implique que : (1 + t)2 (1 - t) = 1
Donc (1 + t) (1 - t) (1 + t) = 1
Soit (1 - t2) (1 + t) = 1
Ou 1 - t2 + t - t3 = 1
Finalement nous obtenons :
- t2 + t - t3 = 0
ou - t + 1 - t² = 0
ou t² + t - 1 = 0
Cette équation a pour racine racine positive (la seule qui nous concerne) :

t = (- 1 + ) /2
soit t = - 1
Et nous avons t =
Φ - 1 ;
t vaut environ 0,618. Le taux est donc d'environ 61,8%

Ainsi le capital initial est multiplié chacune des deux premières années par (1+t).
Ce capital est donc multiplié par
le nombre d'or Φ.
Cela correspond à un taux d'environ 61,8%.

Remarque :
Comme t = Φ - 1 nous avons 1 + t = Φ et 1 - t = 2 - Φ.
A la fin des deux premières années le capital est multiplié par (1 + t)
2 soit par Φ2 et
à la fin de la troisième année le capital est multiplié par (1 - t) =
2 - Φ.

Ainsi au bout des trois années, le capital a été multiplié par  

Φ
2 (2 - Φ) = + 1) (2 - Φ)   car Φ2 = Φ + 1
                 
=   + 2 -Φ2 - Φ
                 
=   Φ + 2 - Φ 2
                 
=   + 1) + 1 - Φ 2
                 
=   Φ 2 + 1 - Φ 2
                 
=   1
Voilà pourquoi au bout de trois ans on retrouve le capital initial : il a été multiplié par 1.