Racine carrée à la main 

  "Il y a des racines de tout' les formes
         Des pointues, des rond' et des difformes
              Cell' de la guimauve est angélique
                  Et la mandragore est diabolique
                       Il y a un Racin' qu'est un classique
                            Mêm' s'il nous bassin' on n'y peut plus rien
                                 Mais la racine que j'adore
                                      Et qu'on extrait sans effort-eu
                                          La racine carrée c'est ma pré-fé-rée."
                                                Boris Vian et José Christian 1957

 2 x 2 = 4
et 2 est la racine carrée de 4.
3 x 3 = 9
et 3 est la racine carrée de 9.

 

Les calculatrices permettent de se soustraire à la difficulté du calcul d'une racine carrée mais elles masquent en les décimalisant la nature de ces nouveaux nombres.
Dans racine carrée, on entend racine, qui évoque l'idée d'un nombre enfoui dans un autre, et carrée, qui renvoie pour ses deux significations, tant géométrique qu'arithmétique, à la figure du carré, bien connue depuis l'enfance.
Les racines carrées ont en effet leur origine dans le problème consistant à trouver le côté d'un carré dont l'aire est donnée
(dixit Stella Baruk Dictionnaire de mathématiques élémentaires).  

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Extraire une racine carrée à la main : choisissez votre nombre (Flash)
Description de l'algorithme
Mais d'où vient le signe ?
Recherche arithmétique d'une racine carrée avec les 4 opérations
Autres méthodes
Autant de décimales que l'on veut (Merci à Hubert Bayet)
Extraire une racine cubique à la main
Et les nombres négatifs...
Extraire une racine carrée avec des soustractions : le gnomon
Extraire une racine à la règle et au compas


 
Extraire une racine carrée à la main : voir dynamiquement

Ci-dessous, entrer un nombre entier plus petit que 100 000 000 et valider en cliquant OK.
L'algorithme se déroulera petit à petit
.

On peut le contrôler avec les boutons interactifs :
arrêter, avancer ou reculer pas à pas avec les boutons simples;
déroulement automatique avec la double flèche avant.
La double flèche arrière repositionne au début.
Pour choisir un autre nombre cliquuer le bouton RAZ.
 

 

 

Description de l'algorithme

Ci-dessous, un exemple extrait d'un manuel
de 1910 pour le cours supérieur de certificat d'études - 11 à 13 ans.

Dans cet exemple, on lit : " En 48 combien de fois 6? Il y est 7 fois."
En réalité il y est 8 fois car 6 fois 8 font 48.
Cependant, 68x8=544, est trop grand pour 489.
Il faut donc comme pour les essais dans une division, prendre plus petit, ici 7,

(dans les programes de l'époque
on n'étudiait que les entiers positifs pour le certificat d'études
).
L'explication de cet extrait de 1910 peut paraître un petit peu rapide.
En suivant pas à pas l'extraction de 1389 dans l'animation précédente,
on retrouve bien les mêmes étapes de calcul.

 

Voici maintenant ce même procédé extrait d'un manuel
de T
erminale C et T de V.Lespinard et R.Pernet 1968

REGLE PRATIQUE
1. Ecrire le nombre dont on veut extraire la racine comme le dividende d'une division.
2. Séparer en tranches de deux chiffres à partir de la droite ; la dernière tranche à gauche peut n'avoir qu'un chiffre.
3. Extraire la racine de la première tranche à gauche ; on obtient ainsi le premier chiffre de la racine cherchée qu'on écrit à la place du diviseur habituel.
4. Retrancher le carré de ce nombre d'un chiffre de la première tranche à gauche.
5. Abaisser à droite du résultat de la soustraction précédente (premier reste partiel), la tranche suivante.
6. Séparer dans le nombre obtenu le dernier chiffre à droite et diviser le nombre restant par le double du nombre d'un chiffre écrit à la place du diviseur ; on écrit le double de ce nombre à la place du quotient.
7. Si le quotient est inférieur à 10 l'essayer, sinon commencer par essayer 9 ; l'essai se fait en écrivant ce quotient à droite du double de la racine de la première tranche et en multipliant le nombre obtenu par le quotient considéré. Si le produit peut être retranché du nombre formé au 5, le quotient convient, sinon on essaie un nombre inférieur jusqu'à ce que la soustraction soit possible.
8. Le résultat de la soustraction est le deuxième reste partiel. Ecrire le nombre essayé à droite du premier chiffre écrit à la place du diviseur.
9. Recommencer avec le deuxième reste partiel comme avec le premier et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on ait utilisé toutes les tranches. Le dernier reste partiel est le reste de la racine carrée.

Un exemple poussé après la virgule
.Il faut partager le nombre décimal en tranches de deux chiffres à partir de la virgule vers la gauche puis vers la droite, en ajoutant des zéros à droite si c'est nécessaire.
.Ensuite il faut extraire la racine carrée de l'entier obtenu en ne tenant pas compte des virgules, mais placer une virgule à la racine, quand on abaisse la première tranche décimale.

 

 

 

Mais d'où vient le signe ?

.Le premier livre dans lequel on mentionne ce signe serait de 1525.
Il s'agit de la 'chose' du mathématicien allemand Christian Rudolff : nombre inconnu qu'il faut trouver.
Des manuscrits découverts d'abord à Dresde (1480), puis à Vienne et à Göttingen montrent la transformation d'un simple point (qui notait aussi la racine carrée en un signe dans lequel un gros point fait à la plume est continué par un trait d'abord un peu descendant puis montant.
Transformation d'un point en symbole de racine

Ce même type de signe est encore utilisé aujourdhui pour 'marquer' un texte que l'on veut mettre en évidence. On sait que Rudolff a lu et étudié ces manuscrits et a choisi une version stylisée de cette marque sans barre supérieure. Le trait supérieur est venu naturellement ensuite là où nous plaçons aujourd'hui des parenthèses, par exemple pour chercher la racine de (a + b). 
Bibliographie : A History of Mathematical Notation -Florian Cajori 1928

.Autre explication de l'origine de ce signe : Amine m'a signalé que le signe de la racine carrée est semblable au signe de l'alphabet arabe qui désigne 'Jiim' équivalent en Francais du 'J', et le nom de racine carrée en Arabe est 'jadr morabaa' ; 'jadr' ici veut dire racine. L'origine du signe de la racine carrée serait arabe.

 

 

Recherche arithmétique d'une racine carrée avec les 4 opérations
Cherchons rapidement et très simplement la racine carrée de 5.
Elle est comprise entre 2 et 3.
Essayons le nombre 2,5 qui est juste au milieu de l'intervalle [2
   3].
Alors 2,52=6,25 et 6,25>5 donc le nombre cherché est compris entre 2 et 2,5.
Essayons 2,2. Alors 2,22=4,84 et 4,84<5 donc le nombre cherché est compris entre 2,2 et 2,5.
Essayons 2,3. Alors 2,32=5,29 et 5,29>5 donc le nombre cherché est compris entre 2,2 et 2,3.
Nous avons trouvé la première décimale :
au dixième près la racine de 5 est 2,2.
Continuons avec 2,25.
Alors 2,252=5,0625 et 5,0625>5 donc le nombre cherché est compris entre 2,2 et 2,25.
Essayons 2,22. Alors 2,222=4,9284 et 4,9284<5 donc le nombre cherché est compris entre 2,22 et 2,25.
Essayons 2,24. Alors 2,242=5,0176 et 5,0176>5 donc le nombre cherché est compris entre 2,22 et 2,24.
Essayons 2,23. Alors 2,232=4,9729 et 4,9729 <5 donc le nombre cherché est compris entre 2,23 et 2,24.
Nous avons trouvé la deuxième décimale :
au centième près la racine de 5 est 2,23.

Le procédé est simple , en l'encadrant on se rapproche de plus en plus de la racine de 5.
Avec de la patience, on pourra ainsi approcher la racine de 5 d'aussi près que l'on voudra, cependant nous ne l'atteindrons jamais car la racine de 5 n'est pas un nombre décimal. De même aucune fraction n'aura pour carré 5.
Alors on peut se demander si cette racine existe...
Oui elle existe et on la qualifie alors de nombre irrationnel noté   

Autres méthodes
Il existe de nombreux algorithmes pour calculer la racine carrée d'un nombre positif .
Ma page sur le gnomon montre comment la trouver à une unité près, avec de simples soustractions de nombres impairs consécutifs.
Il y a aussi une méthode géométrique utilisant la règle et le compas.

L'algorithme de Héron d'Alexandrie
Cet algorithme donne très vite un grand nombre de chiffres significatifs.
Soit donc à chercher la racine carrée x du nombre strictement positif a

                  x2 = a
                  donc 2 x2 = x2 + a
                  donc 2 x = (x2 + a) / x
                  donc x = (x2 + a) / (2 x)
                  donc x = (x + a/x ) / 2
                  On obtient la formule :
                             Algorithme de Newton

Le calcul peut être commencé avec n'importe quelle valeur différente de zéro.

.Exemple avec la racine de 2 en partant de 1

                  x0 = 1
                  x1 = (1/2) ( 1 + 2/1) = 3/2 =1,5
                  x2 = (1/2) ( 1,5 + 2/1,5) = 17/12 ~ 1,4166666
                  x3 = (1/2) ( 17/12+ 2/(17/12)) = 577/408 ~ 1,41421568
                  x4 = (1/2) ( 577/408+ 2/(577/408)) ~ 1,4142135

nous avons déjà 5 décimales qui sont correctes : 1,41421

En pratique on se fixe une précision et on arrête le calcul lorsque la différence entre les deux derniers résultats est inférieure à la précision souhaitée soit 10-5 pour l'exemple ci-dessus.
On peut constater l'exceptionnelle efficacité de cet algorithme.

Le mathématicien Héron d'Alexandrie (Fin 1er siècle après J.C.) dans ses Métriques, explique cette méthode sur l'exemple de 720. Héron favorisait les méthodes de calcul avec peu de démonstration et beaucoup d'exemples.

"Comme 720 n'a pas son côté rationnel, nous pouvons obtenir son côté avec une très petite différence comme il suit. Le carré immédiatement supérieur est 729 qui a 27 pour côté. Divisons 720 par 27. Cela donne . Ajoutons 27 faisant dont nous prenons la moitié ou . Le côté de 720 est donc très approximativement . En effet si nous multiplions par lui-même, le produit est , si bien que la différence est . Si nous voulons avoir une différence plus petite que , nous prendrons au lieu de 720, et en procédant de même nous trouverons que la différence est beaucoup plis petite que ."

En fait dans l'algorithme, Héron prend la seconde approximation puis la troisième s'il y a lieu, le procédé pouvant être réitéré à l'infini.

Source : mathématiques et mathématiciens de Jean.Itard 

 

 

Extraire une racine cubique à la main

Le principe ressemble à celui de l'extraction de la racine carrée.
Exemple
Extrayons la racine cubique de 97 652 328
On découpe le nombre de 3 en 3 en partant de la droite 97 652 328.
Puis on cherche le nombre dont le cube est le plus proche par défaut de 97. C'est 4 dont le cube est 64.
On soustrait 64
.

On cherche alors le plus grand nombre a tel que

( 30 x 4a x 4 + a2 ) x a <= 33 652

Rq : 4a est le nombre constitué de 4 dizaines et de a unités.

 

On cherche alors le plus grand nombre a tel que

( 30 x 46a x 46 + a2 ) x a <= 33 652

Rq : 46a est le nombre constitué de 46 dizaines et de a unités.

 
Finalement la racine cubique de 97 652 328
est 460 à 1 unité près par défaut.
On peut vérifier le résultat en l'élevant à la puissance 3 ou
sur calculette en calculant
97 652 328 à la puissance (1/3)


Autre exemple extraction au centième près de la racine cubique de 4568

Rq : De façon générale, pour extraire la racine nième, il suffit d'élever à la puissance (1/n) .

Et les nombres négatifs...
Dans l'ensemble des nombres réels on ne peut pas extraire la racine d'un nombre négatif puisque le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.
Cependant le mathématicien italien
Raffaele Bombelli fut le premier à évoquer et utiliser les racines ayant un carré négatif en 1572 dans Algebra. Ces nombres' impossibles' choquaient et furent appelés 'imaginaires' par Descartes un peu plus tard.
Ce n'est qu'avec
Leonhard Euler en 1777 que le sulfureux devint le nombre connu aujourd'hui sous le nom de i.
Puis
Gauss travailla sur les nombres complexes x+iy représentés dans le plan par les points de coordonnées x et y.

 


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