La prochaine sera rouge

 



Le problème

Ce problème est inspiré d'un tour du magicien Persi Diaconis devenu mathématicien.

On dispose d'un jeu classique de 32 cartes.

On mélange les cartes.
- On retourne les cartes une à une : pour cela, il suffit de cliquer sur la carte du dessus du paquet.
- Quand le joueur le veut, il décide : " La prochaine carte sera ROUGE ".
Pour cela, il clique le bouton " STOP la prochaine est ROUGE ".
La carte du dessus du paquet est alors retournée automatiquement.

Si elle est
rouge, le joueur a gagné, SINON il a perdu.

On peut choisir la première carte, la dernière ou n'importe quelle autre carte comme prochaine carte rouge.
Cependant on ne peut pas choisir entre rouge et noire car ce serait trop facile :
il suffirait d'attendre la dernière carte !


Puisque toutes les cartes sorties sont visibles, on est informé sur les couleurs restantes.
Il semble alors évident qu'il existe une stratégie permettant de gagner plus d'une fois sur deux.

Qu'en pensez-vous ?



Cette animation permet d'expérimenter et de réfléchir en jouant manuellement.
On peut également lancer les expérimentations de façon automatique, en ultra rapide ou non.

On peut
- choisir le seuil pour la prochaine carte qui sera rouge ou bien
- rendre aléatoire ce seuil à chaque jeu.


Bon jeu, bonne réflexion !

PLEIN ECRAN


Analyse et SOLUTION

Ce problème est un paradoxe surprenant. Et il révèle que certaines informations paraissant utiles ne le sont pas du tout.
Ce travers est souvent utilisé par les maisons de jeux...

Comme les cartes tirées ne sont pas cachées, on est informé des couleurs qui restent dans le paquet.
On pense assez naturellement que cette information ne peut être qu'utile.
Mais cette information ne nous donne rien !

NON, on ne peut pas espérer gagner plus d'une fois sur deux statistiquement.
D'ailleurs les résultats de l'animation, sur de nombreux jeux le confirment : la moyenne obtenue tourne autour de 50%.

Mathématiquement l'espérance est de 50%, une chance sur deux, ni plus ni moins
et ce quelle que soit le rang de la carte prochaine choisie.


Inutile donc de chercher une stratégie plus performante qu'une autre. Il n'y en a pas.


ANALYSE

- Parions dès la première carte : "Elle sera rouge ! ".
C'est évident on a une chance sur deux de gagner.

- Parions sur la dernière carte : "Elle sera rouge ! ".
Nous savons exactement quelle sera sa couleur car nous voyons toutes les cartes déjà sorties.

Si elle est rouge, c'est OK, nous avons gagné.
Mais si on sait qu'elle doit être noire, nous perdons car nous ne pouvons pas dire qu'elle sera noire.
On doit dire: "Elle sera rouge ! ".
C'est la règle du jeu ! Donc nous perdons et finalement même dans ce cas, nous n'avons qu'une chance sur deux de gagner.


Imaginons que nous ayons choisi une stratégie : une position après avoir vu défiler des cartes.

Par exemple la position n pour la prochaine carte qui devra être rouge.
Nous avons (n - 1) cartes avant et (32 - n) cartes ensuite.

Le nombre de possibilités (de rangements des cartes) où la carte n° (n-1) est suivie d'une carte ROUGE, donc gagnante est le même que le nombre de possibilités où cette carte est suivie d'une carte NOIRE.
Ceci car
les couleurs NOIRE et ROUGE ont un rôle symétrique dans le jeu.

Nous avons autant de dispositions c1, c2, c3,... cn-1, cn, cn+1,... c32 avec la nième carte ROUGE
que de dispositions c1, c2, c3,... cn-1, cn, cn+1,... c32 avec la nième carte NOIRE.

Si l'on regarde les 32 ! =1*2*3*...*32
dispositions possibles des cartes, on peut les classer en deux paquets de 32 ! / 2 cartes, correspondant aux deux dispositions précédentes selon la couleur de la nième carte.

Ceci est valable
- quel que soit le rang n choisi pour désigner la prochaine carte qui sera rouge et
- quelles que soient les (n-1) premières cartes sorties.
Ainsi, l'information donnée par les cartes visibles n'est pas utile.

On peut vérifier que la moyenne du nombre de succès, donnée par l'animation ci-dessus, 'tourne' autour de 50% dès que le nombre de jeux est important.

Pour en savoir plus sur la démonstration voir aussi les pages 39 à 42 .:
http://mathinfo.unistra.fr/fileadmin/upload/IREM/Publications/L_Ouvert/n104/o_104_37-47.pdf

 


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