Polygones réguliers de 5, 15 ou 17 côtés
à la règle et au compas




En 1796 le jeune Carl Friedrich Gauss (1777-1855) réussit à tracer un polygone régulier à 17 côtés à la règle et au compas.
Euclide ne savait construire que les polygones réguliers ayant 3, 4, 5 ou 15 côtés
et ceux obtenus en doublant autant de fois que désiré le nombre de côtés.

Gauss découvrit qu'un polygone régulier ayant n côtés est constructible à la règle et au compas
si et seulement si n est
-une puissance de deux,
-ou le produit d'une telle puissance par un ou plusieurs nombres premiers de Fermat,
c'est-à-dire si n s'écrit 2k x m1 x m2 x ...mq où les mi sont des nombres premiers de la forme 22r + 1.
Ainsi 17 = 222 + 1.

Ci-dessous, la construction pas à pas à la règle et au compas, avec arrêt possible si besoin,
de trois polygones réguliers ayant 5 ou 15 ou 17 côtés.


 


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