Vu pas vu ?


 

Des points sont disposés de façon régulière suivant les nœuds d'un quadrillage.
Un observateur placé en O peut-il apercevoir en ligne droite
le point S situé sur le sommet opposé du rectangle ?
Si des points autres que les extrémités sont sur la diagonale, combien y en a t-il ?
Pourra-t'on apercevoir le point situé dans la colonne 799 et la ligne 2186 ?
Pourra-t'on apercevoir le point situé dans la colonne 2005 et la ligne 787 ?


Entrez les nombres de lignes et de colonnes.
Pour des raisons pratiques, le nombre de points sur chaque ligne sera plus petit que 20 et sur chaque colonne il sera plus petit que 30. 

Faire varier ces nombres de points et observer sur la diagonale les points coloriés en rouge. Ceux-ci sont les seuls points du réseau qui sont exactement sur la ligne de mire entre les deux sommets. La ligne rouge confirme l'alignement de ces points.

PLEIN ECRAN
Entrez les nombres de points en ligne et en colonne.

 

Il s'agit d'une application de la notion de diviseur commun. En recherchant tous les diviseurs du plus grand commun diviseur, on peut déterminer tous les points à coordonnées entières qui sont sur la diagonale.
Exemple, rectangle de 14 sur 21 points.

14 = 7x2 et 21=7x3.
7 est un diviseur commun aux deux nombres.
Ainsi nous obtiendrons un partage de la diagonale en sept segments de même longueur (qui se projettent sur la longueur et la largeur en les partageant aussi en 7 segments de même longueur).
Cela nous donnera 8 points possibles sur la diagonale avec des coordonnées entières.

Exemple, rectangle de 12 sur 18 :
12 = 3x2x2 et 18=2x3x3.
2, 3 et 6 sont des diviseurs communs aux deux nombres.
Ainsi nous obtiendrons un partage de la diagonale en 2 ou 3 ou 6 segments de même longueur.
Il suffit pour les trouver de trouver tous les diviseurs du plus grand diviseur commun des deux nombres :
c'est 6 ici.
Cela nous donnera 7 points possibles sur la diagonale avec des coordonnées entières.

Exemple, rectangle de 798 sur 2185 pour la colonne 799 et la ligne 2186.
Nous avons 798 = 2x3x7x19 et 2185 = 5x19x23
Leur seul diviseur commun autre que 1 est 19.
Nous aurons donc 20 points qui cacheront la vue sur la diagonale du rectangle.

Exemple, rectangle de 2004 sur 786 pour la colonne 2005 et la ligne 787.
Nous avons 2004 = 2x2x3x167 et 785 = 5x157
2004 et 785 sont premiers entre eux, donc aucun point ne cachera la vue sur la diagonale.


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