Les solides de Platon

"Nul n'entre ici s'il n'est géomètre"
écrit selon la légende sur le fronton de l'Académie de Platon


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   Solides transparents
Le tétraèdre : le feu chez les grecs Le cube  : l a Terre chez les grecs L'octaèdre : l'air chez les grecs Le dodécaèdre : l'Univers chez les grecsL'icosaèdre : l'eau chez les grecs

Solides opaques

Le tétraèdre : le feu chez les grecsLe cube  : l a Terre chez les grecsL'octaèdre : l'air chez les grecs Le dodécaèdre : l'Univers chez les grecs L'icosaèdre : l'eau chez les grecs

   Cliquer chaque solide pour l'animer dans une nouvelle fenêtre :
les premiers sont transparents, les suivants sont opaques.

Un polyèdre régulier est inscriptible dans une sphère et toutes ses faces sont des polygones réguliers isométriques (Un polygone régulier a tous ses côtés isométriques et tous ses angles sont de même mesure).
Euclide termina son œuvre Les Eléments en prouvant qu'il existe exactement 5 polyèdres convexes réguliers : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.
Ces solides sont appelés communément solides de Platon car ce dernier les a décrits dans le Timée, vers 350 av. J.-C. Il a été séduit par leur beauté et leur symétrie. Les grecs ont accordé une signification mystique aux cinq solides réguliers en les rattachant aux grandes entités qui selon eux façonnaient le monde : le feu est associé au tétraèdre, l'air à l'octaèdre, la terre au cube, l'univers au dodécaèdre et l'eau à l'icosaèdre.
Pythagore de Samos (environ 550 av. J.-C.), a probablement connu trois de ces solides : le cube, le tétraèdre et le dodécaèdre.

A la Renaissance Kepler (1571-1630) pensait que le nombre et la disposition des planètes était une manifestation de la volonté de Dieu et n'était donc pas arbitraire. Il encastra les 6 planètes connues à l'époque dans les 5 solides parfaits platoniciens. A chaque sphère est associée une planète, le rayon de la sphère donne la distance moyenne de la planète au soleil. Chaque polyèdre est inscrit dans une sphère et circonscrit dans une autre. Vénus correspondait à l'octaèdre, la Terre à l'icosaèdre, Mars à au Dodécaèdre, Jupiter au tétraèdre et Saturne au cube.


Nous pouvons vérifier pour chaque solide de Platon la formule d'Euler obtenue avec le nombre F de faces, A d'arêtes et S de sommets :
                F+S=A+2


DUALd'un polyèdre :
on appelle polyèdre dual d'un polyèdre régulier P le polyèdre P' dont les sommets sont les centres des faces du polyèdre P. Si P' est le dual de P, alors le dual de P' est semblable à P. Ainsi le dual d'un cube est un octaèdre régulier et réciproquement.

Tétraèdre Cube Octaèdre Dodécaèdre Icosaèdre


SOLIDES ETOILES
Quelques exemples (surtout bien refermer chaque fenêtre avant d'en ouvrir une nouvelle).

Solides opaques Cube extérieur Cube intérieur Grand icosaèdre
intérieur
Grand icosaèdre
extérieur
Grand docécaèdre
intérieur
Dodécaèdre autre stellation

Solides transparents Cube extérieur Cube intérieur



L'icosaèdre
Il est composé de 20 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 12 sommets et 30 arêtes. Il a 5 arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de l'eau.

PLEIN ECRAN
Le dual de l'icosaèdre est le dodécaèdre
composé de 12 faces et de 20 sommets.

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Cliquer pour animer les solides duaux

Le dodécaèdre
Il est composé de 12 faces qui sont des pentagones réguliers. Il a 20 sommets et 30 arêtes. Il a 3 arêtes en chacun des sommets.
Chez les grecs, il était le symbole de l'Univers.

ICI le dodécaèdre dynamique en dimension 3


PLEIN ECRAN
Le dual du dodécaèdre est l'icosaèdre
composé de 20 faces et de 12 sommets.

Cliquer l'image pour l'animer.
Cliquer pour animer les deux solides duaux

L'animation suivante vient de
http://www.vis.uni-stuttgart.de/~kraus/LiveGraphics3D/examples/parametrized/live2.htm
Laisser la souris dans le cadre.
DOUBLE CLIQUER pour stopper ou démarrer l'animation.
DRAGGER avec clic gauche pour modifier le point de vue.

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L'octaèdre
Tous les autres patrons ici.
Il est composé de 8 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 6 sommets et 12 arêtes. Il a 4 arêtes en chacun des sommets.
Chez les grecs, il était le symbole de l'air.
ICI l'octaèdre dynamique en dimension 3

PLEIN ECRAN
Le dual de l'octaèdre est le cube
composé de 6 faces et de 8 sommets.

Cliquer l'image pour l'animer.
Cliquer pour voir tourner les deux solides duaux

Le cube
On voit ci-dessous le patron en forme de Z couché. Tous les autres patrons dynamiques ici.

Il est composé de 6 faces qui sont des carrés. Il a 8 sommets et 12 arêtes. Il a 3 arêtes en chacun des sommets.
Chez les grecs, il était le symbole de la Terre.

ICI le cube dynamique en dimension 3
PLEIN ECRAN
Le dual du cube est l'octaèdre
composé de 8 faces et de 6 sommets.

Cliquer l'image pour l'animer.
Cliquer pour voir tourner les deux solides duaux

Le tétraèdre
Il est composé de 4 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 4 sommets et 6 arêtes. Il a 3 arêtes en chacun des sommets.
Chez les grecs, il était le symbole du feu.
ICI le tétraèdre dynamique en dimension 3
Il est son propre dual.
Nous voyons ici deux patrons.

Le dual du tétraèdre est le tétraèdre lui-même composé de 4 faces et de 4 sommets.

Cliquer l'image pour l'animer.
Cliquer pour animer les deux tétraèdres duaux

 

 

Pourquoi cinq seulement ?
Un polyèdre régulier doit avoir le même nombre de polygones réguliers en chacun de ses sommets. Ce nombre est évidemment au minimum de 3. Le maximum dépendra de l'angle du polygone régulier. En effet si la somme des angles au sommet atteint ou dépasse 360°, nous obtenons un plan ou une superposition des faces.

Commençons donc par 3. Le polygone régulier ayant 3 côtés est le triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°.
Si nous en plaçons 3 en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons le tétraèdre régulier.
Si nous plaçons 4 triangles équilatéraux en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons l'octaèdre régulier.
Si nous plaçons 5 triangles équilatéraux en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenonsl'icosaèdre régulier.
Et si nous essayons 6 triangles, nous avons 6x60°=360°, nous n'aurons pas de sommet pour le polyèdre, c'est donc impossible, regardons maintenant le polygone régulier à 4 côtés, il s'agit du carré.


On peut placer 3 carrés en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons le cube.

Si nous essayons 4 carrés, nous avons 4x90°=360°, nous n'aurons pas de sommet pour le polyèdre, c'est impossible, regardons maintenant le polygone régulier à 5 côtés, il s'agit du pentagone régulier dont chaque angle mesure 108°.

On peut placer 3 pentagones réguliers en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons le dodécaèdre.
Si nous essayons 4 pentagones , nous avons 4x108°=432°, supérieur à 360°, il y aura superposition, nous n'aurons pas de sommet pour le polyèdre, c'est impossible, regardons maintenant le polygone régulier à 6 côtés, il s'agit de l'hexagone régulier dont chaque angle mesure 120°.

Mais 3x120°=360°,
c'est impossible. Et les autres polyèdres réguliers ont des angles de plus en plus grands, inutile alors de continuer. Nous avons ainsi obtenu les cinq seuls solides parfaits de Platon.

Platon est né en 427 et mort en 347 avant notre ère.
Sa famille était riche et politiquement influente. Cependant il se détourna de la politique car la classe politique ne lui semblait pas estimable...
Il devint un fervent disciple de Socrate.

Il est l'un des plus grands philosophes grecs de l'Antiquité, chef d'une Ecole, l'Académie ; ses œuvres sont écrites sous forme de dialogues dont l'un des protagonistes est Socrate, et sa philosophie est l'une des premières philosophies rationalistes.
Les caractéristiques des dialogues de Platon :
- ce sont des dialogues et non pas des exposés ;
- le dialogue met en scène un maître et son élève ;
- le but est didactique ;
- ils sont fondés sur l'ironie, avec "un avocat du diable".
Il ne s'agit pas d'enseigner quoi penser mais comment penser.




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