La géométrie de la photocopieuse
sur un scénario de Pierre Jullien


DEPLACEMENTS DIRECTS
Translation
Rotation 
Jeux
DEPLACEMENTS INDIRECTS
Symétrie    
Vissage

Considérons une feuille de papier ordinaire dont nous avons coupé un angle pour bien repérer sa position.
Photocopions cette feuille sur un calque. Nous allons déplacer le calque sur l'original.
Nous dessinerons un réseau de parallèles sur chacune de ces feuilles pour mieux observer les transformations.

DEPLACEMENTS DIRECTS

Le calque et la feuille se superposent parfaitement.
Déplaçons le calque à côté de l'original.
Deux cas se présentent :
-les bords du calque sont parallèles aux bords de l'original ;
-ou bien les bords du calque ne le sont pas.

Translation
C'est le cas où les bords du calque sont parallèles aux bords de l'original.

Sur l'animation, nous constatons
- qu'une droite a pour image une droite qui lui est parallèle ;
- qu'aucun point n'est sa propre image.

Rotation (Voir aussi la page Rotations dynamiques)
Les bords du calque ne sont pas parallèles à ceux de l'original.

Sur l'animation, nous constatons
- qu'une droite a pour image une droite qui ne lui est pas parallèle ;
- il existe un point qui est sa propre image ;
- les points d'intersection des droites parallèles avec leurs images respectives sont alignés ; cet alignement dépend de la direction des parallèles tracées sur l'original.
Le calque étant immobilisé sur l'original, c'est aussi vrai pour les bords de la feuille.
Une droite étant déterminée par deux points, il nous suffit, pour obtenir les droites d'alignement, de prendre chaque fois l'intersection d'un bord et de son image.
Ces deux droites se coupent en un point, dont nous constatons qu'il est sa propre image. Ce point est INVARIANT.

Démontrons que ce point est le centre de la rotation.
Le rectangle rose représente la feuille originale et le bleu représente le calque.

Soit O le centre de rotation transformant l'original rose en la copie bleue.
Traçons les deux perpendiculaires menées de O sur les deux segments a et b.
B1 est l'image de A1 dans la rotation de centre O :
- il est sur le segment b image de a et
- sur la perpendiculaire (OB1) image de la perpendiculaire (OA1) à a.
Nous avons donc OA1=OB1.
Nous en déduisons*1 que O est sur la bissectrice de l'angle marqué en S1. La bissectrice est donc la (OS1).

De même on démontrerait que (OS2) est la bissectrice de l'angle marqué en S2. Ces deux bissectrices sont parallèles car elles sont bissectrices de deux angles ayant des côtés parallèles deux à deux.

Ces deux bissectrices parallèles ont un point commun O, elles sont donc confondues en la droite (S1S2) *2. Cela revient à dire que le centre de rotation est situé sur la droite (S1S2).
On démontrerait de la même façon que O est situé sur la droite (P1P2).
O est donc à l'intersection des deux droites (S1S2) et (P1P2).

*1 car tous les points de la bissectrice d'un angle sont équidistants des côtés de cet angle.
*2 ceci explique pourquoi les points d'intersection des droites parallèles et de leurs images sont alignés : ils sont situés sur la bissectrice de l'angle formé par chaque parallèle avec son image.


Au lieu de prendre une feuille, nous aurions pu prendre toute partie du plan voire le plan lui-même.
Le centre de rotation peut être quelconque voire à l'extérieur de la feuille.
C'est le cas dans l'animation suivante.

PLEIN ECRAN
Avec un centre de rotation extérieur à la feuille.

 

 


DEPLACEMENTS INDIRECTS

Symétrie orthogonale

Marquons sur l'original deux points u et v; retournons le calque et appliquons le sur l'original de sorte que l'image de u soit en u et celle de v en v. C'est ce que nous effectuons sur l'animation ci-dessous.

Nous constatons que tous les points de la droite (uv) sont invariants. ce sont les seuls. Pour tout autre point m, la droite (uv) est la médiatrice du segment (mm') m' est le point du calque image de m.
La transformation est la SYMETRIE ORTHOGONALE d'axe (uv).
Si nous retournons le calque à nouveau, en maintenant l'image de u en u et celle de v en v alors nous faisons coïncider le calque avec l'original.
Autrement dit, composer une symétrie avec elle-même, c'est effectuer la transformation IDENTITE (tout point est sa propre image).

Vissage
Maintenant plaçons le calque retourné sur l'original sans nous préoccuper de faire coïncider des points quelconques.

PLEIN ECRAN


Nous constatons que les points d'intersection des droites parallèles avec leurs images sont alignés sur une droite (D).
La droite (D) varie avec la direction des parallèles de l'original. (D) a cependant une direction précise : celle de la bissectrice des directions d'une droite et de son image.
Matérialisons avec un deuxième calque la symétrie orthogonale d'axe (D) qui transforme alors le plan du premier calque en un plan (P).
(P) se déduit du plan original par une translation.

Finalement pour obtenir la transformation complète, nous pouvons opérer en deux temps :
- amener le plan original, par une translation sur le plan du deuxième calque ;
- amener le plan du deuxième calque, par une symétrie orthogonale, sur le plan du premier calque.

La nouvelle transformation que nous venons d'effectuer s'appelle un VISSAGE. Le plus souvent, il n'y a aucun point invariant, sauf dans le cas des symétries orthogonales, qui sont des vissages particuliers (avec un vecteur de longueur nulle).

Une translation, puis une symétrie donnent un vissage.
Une symétrie puis une translation donnent un vissage.


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