Le dispositif de Charles Peaucellier


 

Le dispositif

Encore dénommé "l'inverseur de Charles Peaucellier", cet appareil fut inventé dans les premiers temps de la machine à vapeur.
Il s'agit de transformer un mouvement de rotation en un mouvement rectiligne.
Ce dispositf est l'un des plus élégants et il a été inventé parallèlement de façon indépendante par un Lituanien Lippman Lipkin.

Ce système articulé est composé
- d'un losange constitué de quatre barres de même longueur b.
- de deux barres de longueur a> b, issues d'un point O.

Les deux points I et O sont fixes.
Le point N se déplace sur un arc du cercle de centre O.

Son principe repose sur la transformation géométrique appelée INVERSION qui transforme un cercle en une droite et une droite en un cercle.
Comme ici, le dispositif limite la position de N à un arc de cercle, celle du point M est limitée à un segment.



ANIMATION


- Les boutons STOP et ANIMER arrêtent ou relancent le déplacement du point M.

- On peut déplacer MANUELLEMENT (Souris ou Flèches du Clavier) le point N, après avoir cliqué le bouton STOP.
- On peut modifier les couleurs des barres et des cercles en utilisant les boutons colorés adaptés.
- Il suffit de cocher, décocher le bouton Trace du lieu de M pour voir la droite parcourue par le point M.

- MODIFIER éventuellement la valeur du rayon ON du cercle que décrit le point N.


PLEIN ECRAN



POURQUOI CELA MARCHE ?


Cela provient de la belle transformation géométrique qu'est l'INVERSION (malheureusement quasiment plus enseignée aujourd'hui).

Une Rappelons que :
- les deux points I et O sont fixes.
- le point N se déplace sur un arc du cercle de centre O.

Notons
a = IP = IQ
b = NP = PM = MQ = QN

Le quadrilatère (NPMQ) est un losange dont les diagonales NM et PQ sont orthogonales et se coupent en leur milieu R. Ainsi RN=RM.


Les points I,, R et M sont alignés.


Nous allons montrer que nous avons bien une inversion
.de centre I,
.avec IN*IM = constante qui va
- transformer le point N en le point M, donc
- le cercle de centre O, passant par N en une droite sur laquelle sde déplacera le point M.

Démonstration
IN * IM = (IR-RN) * (IR + RM)
           = (IR-RN) * (IR + RN) = IR² - RN²
IN * IM = IR² - RN²

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle (IRP) rectangle en R, nous avons :
IP² = IR² + RP² c'est-à-dire : a² = IR² + RP²   =>  
IR² = a² - RP² 
(*)      

En utilisant une nouvelle fois le théorème de Pythagore dans le triangle (NRP) rectangle en R, nous avons en utilisant b= NP :
RP² = NP² - RN² => RN² = b² - RP² (**) 

Avec (*)  et (**) , il vient :
IN * IM = a² - RP² - (b² - RP²)
IN* IM = a² - RP² - b² +RP²        SOIT
IN * IM = a² - b²

Ainsi IN * IM est constant et nous avons une inversion
de centre I,
de rapport a²-b², transformant N en M.

C.Q.F.D



CORRESPONDANCE de Peaucellier


Lettre de M. Peaucellier, capitaine du Génie (à Nice).

" J'ai l'honneur de soumettre à \os lecteurs les questions suivantes qui me semblent présenter de l'intérêt à divers égards.»
J'appelle compas composé un assemblage de leviers articulés, susceptibles d'un mouvement défini. Tel est, par exemple, un quadrilatère articulé à ses sommets, l'un des côtés étant fixe.» Le parallélogramme articulé de Watt, certains instruments de précision, comme le pantographe, le planimètre polaire, etc., sont dans le même cas.)
Le compas à verge, se réduisant à un levier mobile autour d'une de ses extrémités, sera le cas le plus simple du compas composé.)
Cela étant, on propose de trouver des compas composés propres à décrire d'une manière continue :
1° La ligne droite;
2° Le cercle, quelque grand que soit son rayon;
3° Les coniques.

Le mode de construction de ce genre de compas supprimant tout mouvement de glissement, le tracé des courbes précitées est susceptible d'une extrême précision.
Le cas de la ligne droite est curieux en ce qu'il offre une (solution rigoureuse du problème résolu d'une manière approchée par le parallélogramme de Watt.
Un abonné nous écrit qu'il serait utile de donner des définitions, claires et précises, de tous les nouveaux termes employés dans les nouvelles méthodes. Nous n'en contestons pas l'opportunité •, seulement, nous ferons observer à notre abonné que le vocabulaire qu'il demande serait trop volumineux pour trouver place dans les Annales. Le nombre des mots nouveaux est déjà considérable, il surpasse de beaucoup celui des idées nouvelles, et notez qu'il va toujours en augmentant. A peine a-t-on fait connaissance avec les hyperdéterminants, les éjectants de discriminants, les covariants, les contravariants, etc., que voici venir des jact-invariants. [Voir les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, n° du 3 juin 1864.) Les factinvariants forment une nouvelle classe d'invariants appartenant à l'ordre des combinants; pour en avoir une notion plus claire, il suffira d 'élire les quelques lignes suivantes qui sont extraites des Comptes rendus. Deux surfaces se coupent suivant une courbe qui, en général, ne présente aucune singularité. Mais il peut arriver que cette courbe possède un point double, dans lequel cas les deux surfaces seront touchées par le même plan. Pour que cela arrive, une certaine fonction des coefficients doit s'évanouir, à laquelle, comme exprimant la condition de tangence, notre grand géomètre M. Cayley a proposé de donner le nom de fact-invariant. G.Un lecteur anonyme des Nouvelles Annales nous a récemment adressé une démonstration relative à la question 664*
La solution qu'on a donnée de cette question(p. iy5, numéro d'avril dernier) est incomplète. Les démonstrations mentionnées (p. 173) s'appuient, comme celle du lecteur anonyme, sur des méthodes de calculs exposées dans le Traité des Sections coniques de M. G. Salmon. Les applications les plus simples qu'on puisse faire de ces méthodes à la question dont il s'agit, ont été faites par l'auteur même du Traité des Sections coniques. (Voir4e édition, p. 244 et 335.)
"
G.


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