Pavage avec des pentagones particuliers

La nouvelle tuile mathématique pentagonale...


Le problème
S'exercer
Le pavage animé pas à pas

Problème

Il n'est pas aisé de paver le plan avec des pentagones. On sait que c'est impossible avec des pentagones réguliers.
Cependant nous connaissions déjà 14 modèles de pentagones particuliers pavant le plan : voir ici la saga des pavages pentagonaux.
Par exemple ceux de Majorie Rice et celui apparaissant dans les rues du Caire que l'on peut retrouver dans ces pages :
http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/jeux_mat/textes/pentagones2.htm


Le 16 août 2015, trois mathématiciens (Casey Mann, Jennifer McLoud and David Von Derau) de l’université de Washington Bothell, ont découvert une nouvelle façon de paver le plan en utilisant exclusivement des pentagones. Sous la direction des deux premiers, le troisième, a écrit un programme qui a découvert un quinzième pavage du plan (Cf http://www.uwb.edu/news/press/2015/081415).

Cette
découverte d'une nouvelle "tuile" mathématique secoue le monde des mathématiques...
Consulter la page suivante :
http://www.huffingtonpost.fr/2015/08/20/decouverte-mathematiques_n_8013972.html

Il s'agit de la découverte d'un pentagone particulier qui pave le plan.
Les tuiles (les motifs pentagonaux) peuvent donc s'assembler sur une surface plane sans qu'elles ne se chevauchent ni ne laissent de trous.


L'animation pour s'exercer

Je vous propose d'utiliser cette tuile pour paver le plan.

-Le bouton Nouvelle Tuile crée un nouveau motif que l'on peut tourner, déplacer ou symétriser.
Le bouton Efface Tuile supprime la dernière tuile créée ou sélectionnée.

-le bouton ROTATION permet de faire tourner la pièce sélectionnée ou venant d'être créée avec des angles allant de 15° en 15°.
On peut choisir de tourner à l'envers avec des angles négatifs comme -15°, -30° etc.
Le PLACEMENT d'une pièce se fait soit avec la souris, soit au CLAVIER avec les quatre flèches de direction Haut, Bas, Gauche Droite.

-Les boutons SYMETRIE 1 et SYMETRIE 2, symétrisent la pièce autour d'un axe.
La symétrie se fait selon un axe Horizontal ou vertical dans la position initiale de la pièce. Cet axe va tourner avec la pièce.

-Le bouton de COULEUR permet de modifier la couleur,
du dernier motif sélectionné ou bien du dernier motif créé si aucun autre motif n'a été sélectionné après la création de ce dernier.
-Le bouton RAZ réinitialise le tout sauf la couleur.
-Le mode ANIMATION permet de voir le mouvement des pièces lors des rotations et symétries.

On peut changer à tout moment la couleur d'un motif en sélectionnant ce motif puis en choisissant une couleur avec le bouton coloré.

-Le bouton du facteur Taille permet de zoomer ou sur la construction réalisée.
Les longueurs sont multipliées par le facteur.
Ainsi un facteur 2 double les longueurs MAIS quadruple les aires...
Un facteur 0.5 divise par deux les longueurs MAIS divise par 4 les aires (elles sont multipliées par 0.25).
Chaque fois le pavage réalisé est respecté.
Le point remplace la virgule pour l'échelle.


Que ce soit pour la ROTATION ou l'ECHELLE je recommande d'utiliser le défilement des flèches.

ATTENTION, toute entrée numérique au clavier, pour la rotation ou l'échelle, doit être suivie de la frappe de la touche ENTREE.

BON Tuilage !

PLEIN ECRAN


Pour ceux qui préfèrent manipuler physiquement les pièces, voici des planches de tuiles pentagonales à imprimer,
éventuellement dupliquer, puis découper :
-planche avec 12 grandes tuiles pentagonales rouges ;
-planche avec 12 grandes tuiles pentagonales incolores ;
-planche avec 40 petites tuiles pentagonales rouges ;
-planche avec 40 petites tuiles pentagonales incolores ;

Voici un exemple de pavage construit avec l'animation précédente :




Et voici le détail de la construction de cette tuile pavante

Le pavage animé pas à pas
Voici la construction animée de ce pavage.

Le mode AUTO construit le pavage de façon automatique à la vitesse que chacun choisit.
En mode MANUEL cliquer la flèche pour le placement animé d'une nouvelle tuile.
Le bouton pause permet de stopper la construction pour mieux l'étudier.


On peut modifier la taille de chaque tuile et donc du pavage en déplaçant le gros point en haut à gauche de l'écran.
Lorsque le pavage est complet sur l'écran, relancer la construction en cliquant la flèche avancer en bas à droite de l'écran.
Dans ce cas, l'empreinte du pavage apparaît. Elle sera modifiée en fonction de la taille et de la couleur de chaque tuile.

On peut modifier les trois couleurs à volonté.


PLEIN ECRAN



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