Des
pantographes
Un
carré fatigué
Qui s'est laissé tirer
Par ses deux angles préférés,
Lourds des secrets...
Guillevic
Le pantographe est un instrument de dessin qui permet de faire des
agrandissements ou des réductions.
Les propriétés de l'homothétie permettent de
conserver les proportions entre le dessin original et le dessin
transformé.
L'instrument est formé de tiges articulées.
Le premier pantographe a été inventé vers 1603 par l'astronome allemand
Christoph Scheiner.
Le pantographe de Langlais (deuxième animation) a été
trouvé en 1743. Il n'existait que comme réducteur.
Ici un lien externe, "Selon
Diderot, dans l'Encyclopédie. Le PANTOGRAPHE".
En tapant "construction pantographe" sous Google,
vous obtiendrez des plans de construction.
Je vous propose ci-dessous deux pantographes virtuels et dynamiques
que vous pourrez manipuler er paramétrer.
Expérimentez, observez et imprimez vos dessins.
Pantographe
inverseur
Le pantographe suivant agrandit ou réduit un dessin en l'inversant.
Quand le rapport est égal à 1, on obtient une symétrie.
Pour expérimenter :
- choisir avec les flèches la
longueur du côté du losange ayant M comme sommet.
- choisir le rapport de la transformation
:
un rapport inférieur à 1 donnera
une réduction et
un rapport plus grand que 1 donnera un agrandissement
de la figure
un rapport égal à 1 donnera une
figure symétrique.
- Déplacer le point M avec la
souris.
- Pour voir le dessin réalisé
en déplaçant le point M, cocher sur le bouton Tracer
M et M'.
- Le bouton Effacer le tracé,
gomme tous les tracés effectués.
- Le bouton Cacher le pantographe,
est utilisé avec IMPRESSION : il permet de voir les
tracés sans le pantographe.
- Dès qu'on déplace le
point M, le pantographe redevient visible.
Analyse
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Par construction
MJOK est un losange.
- La longueur MK est fixe.
- Le point M est mobile
et les côtés du losange peuvent pivoter autour
des sommets J et K.
- Le point O est fixe.
Le losange OQM'P est obtenu en prolongeant les côtés
de MJOK.
Ses côtés pivotent autour des sommets Q
et P.
Le rapport entre les longueurs des côtés des
deux losanges est OQ/OK.
C'est le rapport de la transformation de l'animation.
Les points M, O et M' sont alignés et OM'
/OM = OQ/OK.
Le point M' est donc "piloté" par le point
M.
Ainsi le point M' se déduit de M par une
homothétie de centre O et de
rapport OQ/OK.
Si ce rapport est supérieur à 1 nous obtenons
un agrandissement.
Si ce rapport est plus petit que 1 nous avons une réduction.
S'il est
égal à 1 c'est une symétrie par
rapport à O.
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Pantographe
de Langlais généralisé
Celui-ci aurait été trouvé par Langlais
en 1743.
Il s'agissait d'un réducteur (rapport inférieur à
1).
Dans l'animation, on peut l'utiliser avec un rapport plus grand que
1 pour réaliser un agrandissement.
L'utilisation de l'animation est identique à celle de la précédente.
PLEIN
ECRAN
Analyse
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Par construction
- La longueur OA = AM est
fixe.
- Le point M est mobile : les
segments [OA] et [AM] pivotent autour du sommet A.
- Les points O, M et M' sont
alignés et OM' / OM = AC / AM.
M'CAB est un parallélogramme dont les côtés
sont de longueur fixe :
BM' = AC et CM' = AB.
Les triangles OBM' et OAM sont homothétiques
dans une homothétie de rapport BM'
/AM = OM' /OM.
Le point M' se déduit donc de M par une
homothétie de centre O et de
rapport OM' /OM.
Si ce rapport est plus petit que 1 nous obtenons une
réduction (figure gauche).
Si ce rapport est supérieur à 1 nous avons
un agrandissement (figure ci-dessous).
Si c'est 1 on a la tranformation identique.
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