Des pantographes

Un carré fatigué
Qui s'est laissé tirer

Par ses deux angles préférés,
Lourds des secrets...
                              Guillevic

Le pantographe est un instrument de dessin qui permet de faire des agrandissements ou des réductions.
Les propriétés de l'homothétie permettent de conserver les proportions entre le dessin original et le dessin transformé.
L'instrument est formé de tiges articulées.
Le premier pantographe a été inventé vers 1603 par l'astronome allemand Christoph Scheiner.
Le pantographe de Langlois (deuxième animation) a été trouvé en 1743. Il n'existait que comme réducteur.

En tapant "construction pantographe" sous Google, vous obtiendrez des plans de construction.

Je vous propose ci-dessous deux pantographes virtuels et dynamiques que vous pourrez manipuler er paramétrer.
Expérimentez, observez et imprimez vos dessins.
Pantographe inverseur

Le pantographe suivant agrandit ou réduit un dessin en l'inversant.
Quand le rapport est égal à 1, on obtient une symétrie.

Pour expérimenter :
- choisir avec les flèches la longueur du côté du losange ayant M comme sommet.
- choisir le rapport de la transformation :
  un rapport inférieur à 1 donnera une réduction et
  un rapport plus grand que 1 donnera un agrandissement de la figure
  un rapport égal à 1 donnera une figure symétrique.
- Déplacer le point M avec la souris.
- Pour voir le dessin réalisé en déplaçant le point M, cocher sur le bouton Tracer M et M'.
- Le bouton Effacer le tracé, gomme tous les tracés effectués.
- Le bouton Cacher le pantographe, est utilisé avec IMPRESSION : il permet de voir les tracés sans le pantographe.
- Dès qu'on déplace le point M, le pantographe redevient visible.

Analyse


Par construction MJOK est un losange.
- La longueur MK est fixe.
- Le point M est mobile et les côtés du losange peuvent pivoter autour des sommets J et K.
- Le point O est fixe.

Le losange OQM'P est obtenu en prolongeant les côtés de MJOK.
Ses côtés pivotent autour des sommets Q et P.
Le rapport entre les longueurs des côtés des deux losanges est OQ/OK.
C'est le rapport de la transformation de l'animation.

Les points M, O et M' sont alignés et OM' /OM = OQ/OK.
Le point M' est donc "piloté" par le point M.

Ainsi le point M' se déduit de M par une
homothétie de centre O et de rapport OQ/OK
.
Si ce rapport est supérieur à 1 nous obtenons un agrandissement.
Si ce rapport est plus petit que 1 nous avons une réduction.

S'il est égal à 1 c'est une symétrie par rapport à O.

 

Pantographe de Galois généralisé

Celui-ci aurait été trouvé par Galois en 1743.
Il s'agissait d'un réducteur (rapport inférieur à 1).
Dans l'animation, on peut l'utiliser avec un rapport plus grand que 1 pour réaliser un agrandissement.

L'utilisation de l'animation est identique à celle de la précédente.

PLEIN ECRAN

 
Analyse

Par construction
- La longueur OA = AM est fixe.
- Le point M est mobile : les segments [OA] et [AM] pivotent autour du sommet A.
- Les points O, M et M' sont alignés et OM' / OM = AC / AM.
M'CAB
est un parallélogramme dont les côtés sont de longueur fixe :
BM' = AC et CM' = AB.

Les triangles OBM' et OAM sont homothétiques
dans une homothétie de rapport BM' /AM = OM' /OM.

Le point M' se déduit donc de M par une
homothétie de centre O et de rapport OM' /OM
.
Si ce rapport est plus petit que 1 nous obtenons une réduction (figure gauche).
Si ce rapport est supérieur à 1 nous avons un agrandissement (figure ci-dessous).
Si c'est 1 on a la tranformation identique.

 


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