Mirifiques parabolesParabole poème de Guillevic. Cliquer
  

 

Le poids économique du paraboloïde
Boules, balles et ballons font de la sphère une forme géométrique très commune sur notre bonne vieille terre ronde.
Pourtant une autre forme vient sérieusement concurrencer économiquement la sphère. Il s'agit du paraboloïde de révolution !
C'est tout simplement la forme de la cavité des phares quels qu'ils soient, des voitures, des camions...
C'est aussi la forme des antennes dites 'paraboliques', des grands détecteurs d'ondes pointés sur les profondeurs du cosmos...


Pourquoi donc privilégier cette forme ?
Observons d'abord sur les phares et les antennes les remarquables propriétés de cette forme.
Ensuite nous verrons mathématiquement ce qui justifie ces résultats étonnants.
 

 

Les phares de nos voitures et nos antennes paraboliques  

 
Les phares de nos voitures
Dans l'animation qui suit, cocher le bouton Eclairage phares


P
renons une lampe que l'on place à l'intérieur d'une cavité paraboloïque. Pour mieux comprendre, nous allons couper le phare et obtenir une section en forme de parabole.
Tous les rayons lumineux émis de la lampe vers la parabole sont réfléchis parallèlement les uns aux autres (perpendiculairement à la droite appelée directrice de la parabole.
C'est la meilleure situation pour avoir un éclairage optimal.
Si les rayons partaient dans toutes les directions l'éclairage serait inefficace.
Avec une autre forme nous ne pourrions pas obtenir le parallélisme des rayons réfléchis.
 
Dans l'animation ci-dessous, un seul rayon se déplace pour mieux visualiser.
En réalité bien sûr, tous les rayons lumineux partent simultanément.
    


Nos antennes paraboliques
Dans l'animation qui suit, cocher le bouton Antenne parabolique

C
ette fois, tous les rayons (ou les ondes ) venant d'une source éloignée arrivent sur l'intérieur de "l'antenne parabolique".
La source est si éloignée qu'ils sont considérés comme parallèles.
Il suffit de placer l'antenne de façon à ce que la droite (D) (la directrice) soit perpendiculaire à ces rayons.
Après réflexion sur l'antenne ceux-ci convergent tous vers le foyer.
Alors on peut les détecter, bien mieux qu'avec une toute autre méthode !



Selon le choix déterminé,
- les rayons lumineux partent de la lampe (foyer) ou bien
- les ondes se concentrent vers le foyer F de la parabole.

Après réflexion sur la parabole les rayons sont toujours perpendiculaires à la directrice de la parabole (droite horizontale içi).

L 'animation est automatique lorsqu'on clique le bouton DEPLACER


PLEIN ECRAN

  

 

Déréglez, réglez l'antenne...

Ci-dessous, l'antenne est déréglée. et vous allez devoir l'orienter correctement pour détecter au mieux les ondes qui arrivent.

L
e meilleur moyen est de les concentrer toutes en un seul point.
C'est possible avec le foyer de l'antenne parabolique.

La direction de ces ondes est fixe : parallèle à l'onde verte déjà dessinée.


Dans l'animation suivante


On peut changer la position de l'antenne en utilisant le bouton de rotation de l'antenne parabolique.
Elle tourne autour de son sommet.

Essayez de trouver la bonne position pour faire converger le rayon onde et donc ensuite tous les rayons parallèles à ce dernier,
vers le foyer F de la parabole.
Observez alors la direction de l'onde.


ATTENTION
si vous modifiez l'angle du bouton avec le clavier, penser à VALIDER avec la touche ENTREE pour prendre en compte la modification.

PLEIN ECRAN

Pour concentrer tous les rayons vers le foyer, et donc pouvoir les détecter,
il faut que les ondes arrivent perpendiculairement à la droite directrice de la parabole.


THEOREME
.En chaque point d'une parabole il y a une tangente qui est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites joignant le point au foyer et projetant ce point sur la directrice.
OU
Le symétrique du foyer F par rapport à une tangente est sur la directrice.


 

  
 

 

Comprendre

Une parabole est bien sûr définie avec l'équation : y = ax2 + bx + c
Mais cette formule est bien abstraite et l'approche géométrique est beaucoup plus riche.
En se donnant un point F (le foyer) et une droite fixe (D), la directrice,
la parabole est l'ensemble des points qui sont à égale distance de F et de la droite (D).

Construction :

Soit un point F et une droite (D).

Prenons H sur la droite (D)
.

Traçons le segment [HF].
Traçons alors la médiatrice (IM) de [HF] (droite perpendiculaire en son milieu ou ensemble des points équidistants de H et de F).
Traçons la perpendiculaire à (D) en H. Elle coupe la médiatrice en M, qui est un point de la parabole car il est, à égale distance de la droite (D) et de F.
La droite (IM) est tangente à la parabole. Et tout rayon MF est réfléchi en le rayon MH.


Sur l'animation ci-dessous, après avoir cliqué STOP, déplacer le point H
de la droite.
Il détermine le point M équidistant de la droite et du point F.
M décrit la parabole
-dont la directrice est la droite (D) et
-dont le foyer est le point F.

PLEIN ECRAN


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