Mutations de Farkas Bolyai (1775-1856)
    Par découpages successifs

Transformer un triangle en un parallélogramme de même base (deux cas)

Transformer un parallélogramme en un autre parallélogramme (trois cas)
Transformer un polygone en un triangle


Dans chaque cas, les deux figures concernées ont même aire.

Au siècle dernier, on s'est préoccupé de savoir comment découper une forme donnée pour en recouvrir exactement une autre donnée de même aire.
Farkas Bolyai ( père de János Bolyai 1802-1860 ) fut sans doute le premier à démontrer que si on se donne 2 polygones de même aire, il existe un découpage de l'un qui permet de reconstituer l'autre.
Nous allons voir ci-dessous les différentes étapes animées de cette transformation.

Il suffit de cliquer sur la loupe au dessus du cadre pour voir l'animation plein écran.

Timbre d'origine roumaine : 
R.P.Romana signifiant République Populaire Roumaine, pays où ce  mathématicien naquit et mourut. 
Il y a passé  la pluplart de sa vie. 
Jonas Bolyai : géomètre  hongrois considéré par Gauss comme un génie de premier ordre.

 

Transformer un triangle en un parallélogramme de même base et de même aire

Premier cas
le triangle a un côté parallèle à l'autre côté du parallélogramme
l suffit de couper le triangle suivant une parallèle à la base commune à mi-chemin et de faire pivoter le morceau supérieur.

 

Deuxième cas
le triangle a juste une base commune avec le parallélogramme
Il suffit de couper le triangle suivant une parallèle à la base commune à mi-chemin entre le sommet et la base, puis de tracer en partant du sommet une parallèle à l'autre côté du parallélogramme.
 

 

 

Transformer un parallélogramme en un autre parallélogramme de même aire

Premier cas
les deux parallélogrammes ont une base commune, même hauteur et les deux autres côtés se chevauchent.
Il suffit d'une seule coupe que l'on translate.


                                                    


Deuxième cas
les deux parallélogrammes ont une base commune, même hauteur et les deux autres côtés ne se chevauchent pas.
On reporte le second sur le premier et on trace des lignes de coupe parallèles aux côtés inclinés.
Il suffit alors de translater les coupes pour transformer le premier parallélogramme en le second.

 

Troisième cas
les deux parallélogrammes n'ont pas de base commune.
On construit un parallélogramme intermédiaire ayant un côté commun avec chacun des deux.
On les fait se chevaucher. Un côté du second s'appuie sur 2 côtés opposés du premier.
Lorsqu'on a une base commune, les hauteurs relatives à cette base sont de même mesure car les deux parallélogrammes ont même aire.

 

 

 

 

Transformer un polygone en un triangle de même aire
On peut réduire le nombre de côtés d'un polygone pour obtenir un triangle de même aire. On délimite un triangle avec 3 sommets voisins.
On le découpe pour former un autre triangle (de même hauteur relative à la base commune) dont l'un des côtés prolonge un des deux côtés voisins du polygone.
Ci-dessous on voit le découpage d'un quadrilatère en un triangle.
Pour un polygone quelconque, il suffit... de recommencer le procédé sur les autres côtés.


De façon générale :
Deux polygones de même aire étant donnés, on peut les découper pour les transformer en deux triangles.
Ces triangles peuvent alors être transformés en parallélogrammes ayant même base, comme nous l'avons vu ci-dessus.
Les deux parallélogrammes sont ensuite transformés l'un en l'autre, comme nous l'avons également vu.
Enfin par superposition de tous ces découpages, on arrive à transformer un polygone en un autre.

Cependant, le nombre de pièces est en général très grand. Aussi sera-t-il intéressant de tirer profit des cas particuliers.
Nous verrons par exemple comment en utilisant le théorème de Pythagore, on peut travailler simplement sur des transformations de carrés.


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