La mouche et l'araignée

 

 

Les problèmes
    l'araignée, le miel, l'énigme
Solutions

 

L'araignée



          

Une araignée et une mouche sur une boîte parallélépipédique fermée...
I est milieu de [GH]. J est milieu de [AD]. (IK) perpendiculaire à (GH) et (LJ) perpendiculaire à (AD).
La mouche est en L sur la face FEDA et l'araignée en K sur la face GHCB.
L'araignée marche sur la boîte et doit prendre le chemin le plus court pour atteindre la mouche.
En cm on a KI = 0.25, JL = 0.25, AB= = 7.5, BC = CH = 3.

Quelle est donc la longueur de ce chemin ?

Attention la réponse n'est pas 10,5 cm...

 Le miel

Une mouche se trouve maintenant sur la paroi extérieure d'un bocal à 3 cm du bord supérieur.
A l'intérieur du bocal sur la paroi opposée se trouve une goutte d'un miel délicieux. Elle est aussi située à 3 cm du bord supérieur du bocal.
Le bocal a un diamètre de 10 cm et une hauteur de 20 cm.

Quel est donc le plus court chemin sans voler entre la mouche et la goutte de miel ?

 

 L'énigme

Un petit garçon a collectionné dans une boîte des araignées et des scarabées, 8 en tout. Il se retrouve avec 54 pattes dans la boîte.
Combien a-t-il de scarabées et de d'araignées ?

   

Solutions 

 

L'araignée

  PLEIN ECRAN


Le chemin le plus court entre deux points est bien sûr la ligne droite... sur une surface plane. Aussi devons-nous utiliser le développement du solide.
Il y a plusieurs patrons possibles pour un parallélépipède. Ici 5 faces sur 6 sont fixes.
Afin de respecter la position L de la mouche sur la boîte, on fait pivoter correctement le carré contenant L autour d'un sommet pour obtenir les différents cas.
On voit ainsi le point L s'approcher ou s'éloigner du rectangle voisin.
Les autres positions des rectangles nous ramèneraient à des calculs analogues et il est inutile de les traiter tous.
La solution obtenue est 10 cm.
F
inalement, et c'est assez surprenant, l'araignée passe sur 5 des faces du parallélépipède.
Voici le chemin sur la boîte non découpée :

  PLEIN ECRAN

Ne pas hésiter à reconstituer la boîte à partir de son patron après avoir noté le chemin rectiligne de 10 cm trouvé précédemment.

 

Le miel

Ce problème utilise l'analyse du précédent (patron) et de celui des pompiers (symétrie).
Sur le schéma la mouche est en M et le miel sucré en S.
Pour trouver le chemin on déplie le cylindre, ce qui donne un rectangle dont la longueur est le périmètre du cercle de base du cylindre soit environ 31.4 cm et la largeur 20 cm.
Il faut donc d'abord se diriger vers J symétrique de S (donc tel que JH=HS et (JH) perpendiculaire au bord du cylindre).
Arrivé en I se diriger sur (IS).
Tracer le segment [MI] sur la face recto du rectangle puis [IS] sur le verso.
Refermer le cylindre et enduire ce chemin d'un peu de miel pour indiquer son chemin à la mouche...

 

 L'énigme
Les scarabées ont 6 pattes et les araignées 8. Chacun le sait n'est-ce pas ?
On peut résoudre simplement le problème en utilisant l'algèbre avec des équations (x scarabées et y araignées) :
x+y = 8 et 6x+8y=54,
ce qui nous donne 5 scarabées et 3 araignées...
On pourrait d'ailleurs s'y prendre autrement...

 

             


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