De milieux en milieux,
où va-t-on ?

Problème
D
eux points d'abscisses 0 et 1 aux extrémités d'un segment.
On trace le milieu de ces deux points et on obtient les points d'abscisse 0.5 et 1.
On recommence avec ces deux derniers points.
Que se passera-t-il si on continue les tracés indéfiniment ?

Observons
Sur l'animation suivante, observons les valeurs successives des abscisses des milieux.
Le bouton CONTINUER donne un effet de zoom dans chaque intervalle.
Le bouton PRECEDENT provoque l'effet contraire et permet donc de revenir en arrière.

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Les premières valeurs obtenues sont les suivantes :

Premier procédé
On démontre à l'aide d'une suite récurrente ou bien en sommant une série
que les termes de rang impair ont pour expression :

et que les termes de rang pair sont de la forme :

Lorsque la valeur de k devient infinie, la distance de chaque terme, à 2/3 se réduit de plus en plus.
Ainsi,
-les termes de rang infini, pairs ou impairs tendent vers et
-la différence entre deux termes consécutifs devient presque nulle, en effet :

Autre procédé
1°) Lorsque l'on avance vers la droite, on est amené à ajouter les termes d'une progression géométrique de premeir terme 1
et de raison 1/4 :

1 + 1/4 + 1/4² +...+1/4n =
;
2°) Lorsque l'on recule vers la gauche, on retranche les termes d'une progression géométriques de premier terme 1/2
et de raison 1/4 :
1/2(1 + 1/4 + 1/4² +...+1/4n) =
La différence des deux donne finalement .

Autre raisonnement
On peut constater qu'à chaque étape, un aller retour (un vert un rouge) revient à avancer d'une longueur égale au quart de la précédente.
O
n obtenons la somme des distances :
1/2(1 + 1/4 + 1/4² +...+1/4n) =

Nous retrouvons .

Morale de l'histoire
De moitiés en moitiés on tombe sur deux tiers !


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