Le lombric mathématicien et le cylindre
Surface cutanée et volume

Le problème
Pour survivre le lombric doit surtout grandir en longueur et
NON PAS de façon proportionnelle entre épaisseur et longueur.

L
e lombric a une respiration cutanée. Elle se fait par diffusion au travers de la cuticule perméable. L’oxygène pénètre à travers sa peau et se fixe sur le sang. Les glandes de l'épiderme produisent continuellement du mucus qui maintient la surface humide, et permet ainsi à l'oxygène de diffuser vers l'intérieur de l'animal.
La peau d'un lombric est constituée d'un épiderme mince (une seule couche de cellules) recouvert d'une fine cuticule transparente. Du mucus (sécrété par des cellules spéciales) maintient la surface de la peau toujours humide, la protège contre l'abrasion des particules du sol et la lubrifie, ce qui facilite la progression dans les galeries du sol.
L'ensemble : épiderme, fine cuticule, mucus est perméable à l'oxygène et au dioxyde de carbone à condition qu'il soit humide.
Sous la peau, se trouvent des capillaires sanguins et les muscles périphériques dont les contractions permettent la reptation du ver, son enfouissement dans le sol, sa locomotion dans les galeries qu'il a creusées dans le sol. Quand le temps est sec, le lombric creuse plus profond pour faire ses galeries et rester humide. En été on trouve des vers de terre desséchés morts asphyxiés.

Une organisation aussi simple du système respiratoire présente une contrainte : le ver ne peut pas grandir de façon proportionnelle en épaisseur et en longueur, sinon la surface de la peau serait insuffisante pour assurer les échanges gazeux.
En effet, la forme du ver étant assimilée à celle d'un cylindre, si toutes les longueurs sont multipliées par 2, la surface de la peau est multipliée par 4 (22) mais le volume est augmenté d'un facteur 8 (23). Or, la consommation d'oxygène est proportionnelle au volume alors que les échanges gazeux au travers de la peau sont proportionnels à l'aire de la surface.
Il a été calculé que la taille maximale théorique d'un ver de terre correspond à un diamètre de 3 centimètres. Et il est intéressant de constater que les plus gros vers de terre existants, qui vivent dans certaines régions de l'Australie ont ce diamètre pour une longueur de 3 mètres.

Nous pouvons observer dans ma page sur le cylindre,
- l'évolution parabolique du volume d'un cylindre de hauteur constante en fonction du diamètre
, puis
- l'évolution linéaire du volume du cylindre en fonction de sa hauteur quand le diamètre est fixe.

Ci-dessous, dans les deux animations le ver est assimilé à un cylindre,
nous allons comparer l'évolution de la surface cutanée et du volume
1°) quand son diamètre est fixe et que la longueur varie puis
2°) quand la longueur est fixe et que le diamètre du ver varie.

Les courbes : surface de la peau et volume du lombric (assimilé à un cyclindre).
1°)
La longueur est fixée a priori (modifier éventuellement avec le bouton adéquat),
Modifier ensuite le diamètre dans le bouton adéquat : le volume du ver croît beaucoup plus vite que l'aire de sa surface cutanée.

A longueur fixée,
l'évolution du volume en fonction du diamètre est parabolique alors que celle de l'aire de la surface cutanée est linéaire.Mise à jour de macromedia  FLASH PLAYER. Indispensable pour voir les animations Flash.


2°) Le diamètre est fixé a priori (modifier éventuellement avec le bouton adéquat),
Modifier ensuite la longueur dans le bouton adéquat :
le volume du ver et l'aire de sa surface cutanée croissent tous les deux de façon linéaire.

A diamètre fixé,
l'évolution du volume en fonction de la longueur est linéaire tout comme celle de l'aire de la surface cutanée.Mise à jour de macromedia  FLASH PLAYER. Indispensable pour voir les animations Flash.


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