L'hyperbole


Le problème
On ne connaît que le contour de l'hyperbole : juste son tracé.

Retrouver ses éléments caractéristiques : foyer et sommets rigoureusement construits à la règle et au compas seulement.



Solution avec une construction animée pas à pas ou en mode automatique

Les commentaires soulignés en haut de l'animation sont des liens renvoyant aux constructions de base à la règle et au compas :
-médiatrice d'un segment,
milieu d'un segment à la règle et au compas
,
parallèle à une droite passant par un point, bissectrice d'un angle
etc.

OU milieu au compas exclusivement.


D'autres animations sur les coniques sont aussi linkées.

L'animation peut être visualisée
- en mode pas à pas : on contrôle en cliquant soit le bouton arrêt, avance ou recule ;
- en mode automatique (uniquement jusqu'à l'étape 18) : l'animation se déroule de façon automatique à la vitesse que l'on choisira.
On peut stopper, avancer manuellement puis reprendre le mode automatique.

A la dernière étape, le point H tourne sur le cercle principal de l'hyperbole.
On peut le déplacer manuellement en cliquant le bouton STOP en haut à droite de l'animation.
On relance le mouvement automatique du point en cliquant le bouton ANIMER.

PLEIN ECRAN



La construction fait appel à une jolie propriété :
l'hexagramme de Pascal dit hexagramme mystique.
Si on prend trois points P, Q, R alignés, puis trois autres points alignés, p, q et r
      alors
les intersections des droites (Pr) et (Qp)
puis de (Pr) et (Rp) et enfin
de (Qr) et (Rq) sont alignées.


De même si on prend six points P, Q, R ,p, q et r sur une conique alors
les intersections des droites (Pr) et (Qp)
puis de (Pr) et (Rp) et enfin
de (Qr) et (Rq) sont alignées.

SOIT :
Les trois paires de côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique se croisent en trois points alignés.

Ainsi en faisant se confondre deux des six points sur une conique, nous pouvons construire à la "règle seulement" la tangente en un point d'une conique.

C'est ce qui a été fait dans l'animation en choisissant sur une branche de l'hyperbole quatre points arbitraires pour construire uniquement avec des intersections de droites, la tangente en le point M.

Cette tangente nous a permis de déterminer le foyer grâce à la propriété illustrée dynamiquement à la dernière étape de l'animation.


L'hyperbole, équation rapportée à ses axes et quelques propriétés
L'équation réduite de l'hyperbole dans le repère rapporté à ses axes est :
x²/a² - y²/b² = 1


Les boutons STOP et ANIMER arrêtent ou relancent le déplacement des points M et M '.
On peut déplacer MANUELLEMENT les points M (SOURIS),  A et B (SOURIS ou CLAVIER) après avoir cliqué le bouton STOP.

Avec la SOURIS
Déplacer les points A et B pour modifier les paramètres de l'hyperbole.
Déplacer les points M et M' avec la SOURIS et
noter que |MF' -MF| =2 a, est constant pour chaque hyperbole : |MF' - MF| = 2 * OA.


Au CLAVIER
-les flèches HAUT et BAS modifient le point B ;
-les flèches GAUCHE et DROITE modifient le point A.


PLEIN ECRAN

 


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