Le meilleur emplacement dans un triangle équilatéral... ? Robinson Crusoé est le propriétaire d'une superbe île ayant la forme d'un triangle équilatéral. Il veut construire une cabane à l'intérieur de son île. Son problème est de choisir l'endroit à partir duquel la somme des distances aux trois frontières sera la plus courte possible. Quel emplacement devra-t-il choisir ? Solution animée Tous les points intérieurs au triangle équilatéral sont équivalents. En effet la somme des distances aux trois côtés du triangle est constante et égale à la hauteur du triangle équilatéral. PLEIN ECRAN Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de Viviani du mathématicien italien Vincenzo Viviani (1622 - 1703) qui fut un collaborateur de Galilée, à Arcetri, en Italie et publia la version italienne des Eléments d'Euclide en 1690. On montre que dans le cas d'un polygone régulier à n côtés, la somme des distances aux n côtés est égale à n fois l'apothème du polygone. L'apothème est la distance entre le centre du polygone et un côté de ce polygone. Une Démonstration Soit O un point intérieur au triangle équilatéral. Nommons H1, H2 et H3 les pieds des perpendicualires abaissées de O sur les trois côtés du triangle équilatéral. Soit h la hauteur du triangle équilatéral. Peu importe le sommet duquel elle et issue puisque le triangle est équilatéral. L'aire du triangle ABC est égale à                 AB x h /2. Mais c'est aussi la somme des aires des trois triangles colorés soit :                 (OH1 x AB / 2) + (OH2 x AC / 2) + (OH3 x BC /2) Mais AB = AC = BC donc la somme des aires devient                 AB (OH1 +OH2 + OH3) /2 On déduit donc que                 h = OH1 +OH2 + OH3 La somme des distances du point O aux côtés est toujours égale à la hauteur du triangle.