La grenouille et le ruisseau
sur le casse-tête G167 de Diophante


Casse-tête G167
La grenouille de la fable1 se trouve sur une bande de terrain de 45 mètres de largeur bordée au sud par une route prise pour axe des abscisses et au nord par un ruisseau qui court parallélement à la route. La grenouille cherche à atteindre le ruisseau par bonds successifs de 1 mètre. Son point de départ est sur l'axe des ordonnées à 32 mètres de la route. A chaque bond effectué à l'intérieur de la bande de terrain, elle choisit au hasard une direction parallèle ou perpendiculaire à la route. Si elle atteint le bord de la route, sagement elle s'abstient de la traverser et choisit au hasard l'une des trois directions nord, est ou ouest. Si elle atteint le bord du ruisseau, elle fait un ultime bond pour plonger en plein milieu du ruisseau.
Déterminer l'espérance mathématique du nombre de bonds qui l'amènent en plein milieu du ruisseau.

Modélisation

PLEIN ECRAN


Résultat


Voir le site Diophante.fr pour diverses solutions et plus d'explications :

Soit N(y) est le nombre de bonds nécessaires à la grenouille pour atteindre le ruisseau quand elle est à l'ordonnée y (par convention on pose y = 0 pour le bord de route et y = 45 pour le bord du ruisseau ).
Raisonner exclusivement sur la loi de probabilités de N(y) est inextricable car comme le montre l'animation la grenouille est susceptible de passer plusieurs fois par des points de même ordonnée y.
Pour s'en sortir, il convient de passer par l'espérance mathématique de N(y) désignée par E[N(y)] et d'établir des relations de récurrence entre les espérances mathématiques des nombres de bonds qui séparent la grenouille placées aux ordonnées y – 1, y ,y + 1 du milieu du ruisseau.
Le but est de calculer E[N(32)]

Quand la grenouille vient de faire un bond qui l'amène à l'ordonnée y >=1, elle se trouvait auparavant :
- ou bien à cette même ordonnée y avec une probabilité 1/4 + 1/4 = 1/2
- ou bien à l'ordonnée y + 1 avec la probabilité 1/4
- ou bien encore à l'ordonnée y - 1 avec la probabilité 1/4.
D'où la relation E[N(y)] = 1/2*(E[N(y) + 1) + 1/4*(E[N(y+1)] + 1) + 1/4*(E[N(y - 1)] + 1) = 1 + E[N(y)]/2 + E[N(y+1)]/4 + E[N(y - 1)]/4,
ce qui donne 2E[N(y)] = 4 + E[N(y+1)] + E[N(y - 1)]

Quand y = 0, on a E[N(0)] = 2/3*(E[N(0) + 1) + 1/3*(E[N(1)] + 1).
D'où E[N(0)]= E[N(1)] + 3

On a évidemment E[N(45)] = 1, c'est le bond final dans le ruisseau quand la grenouille atteint le bord du ruisseau.

A partir des deux relations 2E[N(y)] = 4 + E[N(y+1)] + E[N(y - 1)] et E[N(0)]= E[N(1)] + 3 on calcule pas à pas E[N(1)],E[N(2)],E[N(3)],E[N(4)],..
et on en déduit la formule de récurrence plus simple E[N(y)] = E[N(y+1)] + 4y + 3
D'où à partir de E[N(45)] = 1, on obtient rapidement E[N(32)].

On arrive à une espérance de :
E(N(32)) = 1 + 4*(44 +43+42+40+...+32) + 13*3 = 2016.

De façon générale si n est la largeur du champ et d la distance de la grenouille à partir du bas, l'espérance est :
E(N(d)) = 1 + n(2n+1) - d(2d+1)



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