La planche de Galton


Description et simulation

Issu d'une famille de scientifiques, Francis Galton (1822-1911) était le cousin de Charles Darwin et voulait justifier la transmission des possibilités intellectuelles par l'hérédité pour améliorer l'espèce humaine... Il s'intéressa à la géographie, la météorologie, l'anthropologie. Il fut l'un des pionniers en statistique, dans un but purement utilitaire. Ses travaux dans le domaine des statistiques restèrent cependant secondaires pour Galton, à côté de ses études sur l'origine des espèces. Il créa une planche à deux étages afin d'étudier les lois du hasard.
Dans la planche de Galton, plusieurs billes tombent au travers d'une pyramide de clous sur une planche inclinée.
En bas se trouvent des boîtes dans lesquelles tombent les billes. La bille finit sa trajectoire en tombant dans une des boîtes du bas. On trouve quelquefois ce jeu dans les foires. L'animateur du stand attribuera-t-il la même valeur à chaque boîte de la planche ?

Chaque fois qu'une bille tape un clou, elle
a une chance sur deux de tomber d'un côté ou de l'autre. Elle a donc la même probabilité (p=0.5) de continuer sa chute à gauche ou à droite. Si nous réalisons l'expérience un grand nombre de fois (400 fois par exemple), les billes accumulées dans les boîtes forment ainsi un histogramme.


Analyse
Dans les jeux de hasard on peut prévoir les résultats pour un très grand nombre de jeux, mais prévoir le résultat individuel d'un joueur particulier est tout à fait incertain. Lorsqu'on lance un dé on a une chance sur six d'obtenir un 4. Cependant si on lance le dé six fois de suite nous ne sommes pas certains d'obtenir un 4 au moins une fois... par contre si on le lance 1000 fois on aura plus de chances d'obtenir le 4 une fois sur 6 donc environ 166 fois.
Avec les lois du chaos, on ne croit pas pouvoir prédire l'ensemble des phénomènes de l'Univers
.

Dans la planche de Galton la probabilité qu'une bille arrive dans une colonne donnée est égale au nombre de chemins possibles y aboutissant divisé par le nombre total de tous les chemins.
Sur la figure ci-dessous, au 6ème niveau la bille a 10 chances sur 32 d'arriver en A et 10 chances sur 32 d'arriver en B. Notons que le 6
ème rang, la somme des probabilités est de 1.


Pour arriver en C au rang suivant, la bille doit passer par A ou par B. De A elle a une chance sur 2 d'arriver en C, de B elle a aussi une chance sur 2 d'arriver en C. Nous obtenons alors elle a donc une probailité de (01/2)(10/32) +
(1/2)(10/32))= 20/64.
Nous retrouvons aux numérateurs des fractions, des nombres qui rappellent ceux que nous avions dans le triangle de Pascal : ce sont les coefficients du binôme de Newton.
Avec un très grand nombre de billes et un très grand nombre de clous, la courbe de répartition des billes dans les différentes boîtes donne une courbe en cloche. Cela résulte de la loi de Gauss : lorsque le nombre de billes lâchées tend vers l'infini ainsi que le nombre de clous, la courbe de leur répartition dans les différentes boîtes se stabilise pour donner la courbe de Gauss (courbe en cloche répartition normale aléatoire).
Voir la démonstration ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomiale
Devinette
David vient de lancer sa pièce 50 fois de suite. Elle est retombée 50 fois sur Face. Quelle chance a-t-il de la voir retomber sur Pile la 51ème fois ?

Réponse...
Certainement aucune ! En effet si elle est tombée tant de fois de suite sur Face, c'est qu'elle est truquée : les 2 côtés sont sûrement identiques ;o).

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