Ellipse de bien jolis tracés anciens...




Avec deux cercles
Traçons deux cercles concentriques après avoir choisi leurs rayons respectifs.
Choisissons également le nombre d'étapes du tracé.
Les diamètres des deux cercles seront les axes de l'ellipse.
Traçons un certain nombre de rayons et continuons la construction en suivant l'animation ci-dessous..
Nous obtenons une belle ellipse.
Ce procédé était, semble-t-il, enseigné à l'école pratique (ancêtre des LEP) en 1940.

PLEIN ECRAN

Quelques explications
Choisissons le repère formé du centre de l'ellipse et des deux axes horizontaux et verticaux de l'ellipse.
Appelons a et b les rayons des deux cercles initiaux.
Si nous appelons t, l'angle du rayon vert avec l'horizontale, le point M intersection des deux segments rouges a pour coordonnées
X = a cos t et Y = b sin t.
Il s'agit de l'équation paramétrée de l'ellipse.


Ces relations permettent de retrouver l'équation cartésienne :


Nous pouvons aussi définir l'ellipse à partir de ses foyers A et B.
M étant un point de l'ellipse, la longueur de la corde ABMA est constante.
Nous retrouvons ci-dessous, la méthode des jardiniers pour tracer cette courbe.



Avec une corde de longueur constante : la corde du jardinier



Dans l'animation ci-dessous


On déplace le point M en tirant sur la corde dont la longueur reste constante.
Cette corde est fixée sur les deux points fixes F et F' qui sont les foyers de l'ellipse.
Avec OA = a OB =b.

Si a> b,
le petit axe de l'ellipse est de longueur 2b et le grand axe est de longueur 2a.
Si a>b c'est linverse.
Si a=b, nous avons un cercle.

L'équation réduite de l'ellipse dans le repère orthogonal centré en O est :

x²/a² + y²/b² = 1


Les boutons STOP et ANIMER arrêtent ou relancent le déplacement du point M.
On peut déplacer MANUELLEMENT les points M (SOURIS),  A et B (SOURIS ou CLAVIER) après avoir cliqué le bouton STOP.

Avec la SOURIS
Déplacer le point A pour modifier le grand axe de l'ellipse et B pour modifier le petit axe de l'ellipse.
Déplacer le point M avec la SOURIS et
noter que MF'+ MF =2 a, est constant pour chaque ellipse : MF' + MF = 2 * OA.
Grâce à cette propriété on peut tracer comme le faisaient les égyptiens une ellipse avec la corde du jardinier, cF ICI.


Au CLAVIER
-les flèches HAUT et BAS modifient le point B ;
-les flèches GAUCHE et DROITE modifient le point A.

PLEIN ECRAN




Une jolie application
avec le théorème de Pythagore






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