Un jeu équitable avec deux dés à 6 faces

 

Le problème

Emma et Mathéo jouent avec deux dés dont les faces sont rouges et vertes.
Le premier dé a 5 faces vertes et 1 face rouge.
Lorsqu'on lance les deux dés, Emma gagne si les deux faces du dessus sont de la même couleur sinon c'est Mathéo qu igagne.
Il faut que le jeu soit équitable et que les deux joueurs aient la même chance de gagner.


QUESTION


Comment doit-on peindre le deuxième dé ?


ANIMATION
pour expérimenter

Ci-dessous, choisir le nombre de faces vertes du deuxième dé avec les flèches du bouton.
Le deuxième dé sera automatiquement coloré correctement.

Ensuite cliquer sur le bouton JOUER pour lancer les dés ou bien
le bouton SIMULATION après avoir choisi le nombre d'expériences césirées.

Lorsqu'on change une valeur dans l'un des boutons fléchés, les gains sont automatiquement remis à zéro.
ATTENTION si on entre une valeur au clavier, frapper la touche ENTREE ensuite pour la valider.



Observer, changer les valeurs et réfléchir...



PLEIN ECRAN

 


SOLUTION


En analysant les résultats obtenus avec l'animation précédente sur de très nombreuses expériences
nous découvrons que le deuxième dé devra avoir

trois faces de chaque couleur : trois faces vertes et trois faces rouges.

Cela semble surprenant voire invraisemblable ! Cependant l'animation n'est pas truquée ;).

Calculons la probabilité que les faces soient de la même couleur donc
la probabilité d'obtenir des faces vertes sur les deux dés ou bien des faces rouges sur les deux dés.

Chaque évènement est le produit des probabilités que chaque couleur sorte sur chaque dé.

Probabilité d'avoir deux faces vertes : 5/6 x 3/6 = 15/36
C'est 5 faces sur 6 pour le premier dé et 3 faces sur 6 pour le deuxième dé.
.
Probabilité d'avoir deux faces rouges : 1/6 x 3/6 = 3/36
C'est 1face sur 6 pour le premier dé et 3 faces sur 6 pour le deuxième dé.


Donc la probabilité d'avoir deux faces de la même couleur est la somme des deux soit 15/36 + 3/36 = 18/36 et donc c'est 1/2.
De la même façon, la probabilité que les faces soient de couleurs différentes est 1/2.

En coloriant le deuxième dé avec 3 faces rouges et 3 faces vertes nous donnons la même chance de gagner aux deux joueurs.



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