Une jauge pour une cuve cylindrique couchée et autres cuves...



Le problème
C
laude possède une cuve de forme cylindrique contenant le fuel avec lequel il chauffe sa maison.
Sa cuve mesure 2,65m de longueur et a un diamètre de 1,20m.
Régulièrement il fait le plein... Mais auparavant il aimerait savoir combien il lui reste de fuel dans la cuve
(ne serait-ce que pour vérifier sa facture).
Aussi voudrait-il construire une jauge. Il désire une graduation tous les 10 cm lui fournissant la
quantité de fuel contenue dans la cuve.
Comment procéder ?

Notons que pour une cuve cylindrique verticale, le problème est très simple.
Il suffit de multiplier la surface du disque de base par la hauteur du liquide dans la cuve.
Afin de faciliter la vérification, la petite animation suivante vous donne directement le résultat.
PLEIN ECRAN

Simulation pour la cuve couchée
C
i-dessous cliquer sur les flèches pour fixer d'abord la longueur et le diamètre de la cuve.
La courbe donnant la capacité de la cuve en fonction de la hauteur de remplissage est mise
à jour au fur et à mesure des changements de mesure de la cuve.

Choisir ensuite la hauteur désirée en cm (cette hauteur correspond à la partie trempée de la jauge).
La cuve se remplit alors correctement et un gros point se déplace sur la courbe pour indiquer la
capacité qui est affichée en litres.

ATTENTION, si vous entrez vos valeurs au clavier,
appuyez ensuite la touche ENTREE pour valider chaque donnée,
vérifiez l'affichage des valeurs prises en compte.


PLEIN ECRAN                                                    Get macromedia  FLASH PLAYER. Indispensable pour voir les animations Flash.

L'animation simplifiée ci-dessous donne les résultats avec des dimensions éventuellement plus grandes.

ATTENTION, si vous entrez vos valeurs au clavier,
appuyez surtout la touche ENTREE pour valider chaque donnée,

vérifiez l'affichage des valeurs prises en compte.

Explication et calculs

Il s'agit de calculer le volume d'un solide dont la base correspond
à la partie rouge de la figure ci-contre et de longueur 2,65m.
Les mesures étant indiquées en mètres,
posons
R
, le rayon de la cuve
et L sa longueur.

Dans le cas où la hauteur est inférieure au rayon,
nous
pouvons chercher la surface de la partie rouge c'est à dire
celle du secteur angulaire SOA moins celle du triangle rectangle SOH.
Nous avons cos β= .
L'angle β est donc l'angle dont le cosinus est .
C'est     β = Arc cos()      
 ( β est exprimé en radians ci-dessous.)

On peut le déterminer en utilisant une table de trigonométrie ou une calculatrice.



Aire(SOH) =
Aire(SOH) =R² =
β est exprimé en radians d'où :

Aire (secteur SOA) = =
Finalement
Aire(SHA) = - R² = .
L'aire de la partie rouge est le double de celle de SHA soit :
.
Le volume est
L .


Pour obtenir le volume en litres, il suffit de convertir les longueurs en dm, puisque 1dm3 correspond à 1 litre.
En dm, le rayon est 10R et la longueur 10L.
Avec β = Arc cos() , la capacité en rouge de la cuve est en litres :


Dans le cas particulier ci-dessus avec un rayon de 0,6m et une longueur de 2,65m,
cela donne :

Dans le cas où la hauteur est supérieure ou égale au rayon,

la formule trouvée précédemment donne également l'expression du volume
car le signe des lignes trigonométriques change et permet de retrouver le bon résultat :
le triangle enlevé ci-dessus, s'ajoutera correctement.

Pour ceux qui ne sont pas totalement convaincus, il suffit, lorsque la capacité est
supérieure à la moitié de la cuve, d'utiliser la symétrie de la figure.
Par exemple, pour une hauteur de liquide égale au diamètre moins h avec (h<R), il suffit de calculer
   le volume de la cuve pleine
      moins
   celui qu'on obtient pour une hauteur h de liquide.

En vérifiant les résultats obtenus, on observe très bien cette symétrie.

Joël propose la démonstration complète utilisant cette symétrie ICI.

 


         Menu trucs  Accueil