Le cube diamanté


Le diamant  intérieur transparent  : CLIQUER

Le cube
Le diamant

Le diamant dans le cube
Le dodécaèdre rhombique
Le patron et la démonstration et le nid d'abeilles...

Trois pyramides dans un cube


Dans cette page, CLIQUER les images des solides
pour les animer dans une nouvelle fenêtre.
Le déplacement de la souris modifiera la rotation du solide.
Ne pas oublier de refermer la fenêtre de chaque animation
avant d'en ouvrir une autre.


Le cube
Ci-dessous deux cubes l'un est transparent l'autre opaque...
CLIQUER chaque image ci-dessous pour l'animer le cube en dimension 3 :
N'oubliez pas de refermer la nouvelle fenêtre pour ne pas surcharger votre ordinateur.

         Le cube  : l a Terre chez les grecs CLIQUER pour l'animer en transparence         Le cube  : l a Terre chez les grecs  CLIQUER pour l'animer en opaque
Le cube est composé de 6 faces qui sont des carrés. Il a 8 sommets et 12 arêtes. Il a 3 arêtes en chacun des sommets.
Chez les grecs, il était le symbole de la Terre.


Nous allons transformer ce cube en une sorte de diamant spécial :
-fermé il aura l'air d'un cube classique mais il renfermera 6 pyramides dont les sommets coïncideront au centre du cube.

-ouvert ce sera un rhomboèdre, appelé aussi dodécaèdre rhombique, d'un volume égal au double de celui du cube.
Dans l'animation ci-dessous, quatre tiges sont fixées sur chaque face du cube, pour former les pyramides.
Cinq seulement des six faces sont représentées pour permettre la visualisation de l'intérieur du cube refermé.


PLEIN ECRAN


                        

Le diamant
C'est un cube dont chaque face supporte une pyramide composée de quatre triangles isocèles et d'une base carrée. Ce solide est un dodécaèdre rhombique. Nous l'animerons ci-après.
Cliquer chaque solide pour l'animer dans une nouvelle fenêtre. N'oubliez pas de refermer la fenêtre.
Le diamant extérieur  transparent : CLIQUER pour l'animer en transparence          Le diamant  extérieur  opaque : CLIQUER pour l'animer en opaque
     transparent                                                  opaque

Le diamant dans le cube
Ce solide complète le précédent. On l'obtient en retournant le solide précédent : les six pyramides sont enfermées dans le cube.
Cela nous donne une approche du volume de chaque pyramide : 1/6 ème de celui du cube.
Le diamant  intérieur transparent  : CLIQUER          Le diamant intérieur  opaque : CLIQUER
     transparent                                          opaque



Le dodécaèdre rhombique
Choisissons deux faces carrées F1 et F2 ayant une arête commune [AB]. Les sommets S1 et S2 des pyramides placées sur F1 et F2 sont dans le même plan que A et B (ils sont le centre de deux cubes plaqués sur les faces F1 et F2). Joignons les points A, B, S1 et S2 ; nous obtenons un losange ABS1S2.
Nous trouvons de cette façon 12 losanges qui constituent un dodécaèdre rhombique. Vous trouverez l'un de ses patrons à la fin de cette page.
Le rhomboèdre transparent : CLIQUER         Le rhomboèdre opaque : CLIQUER
     
transparent                          
                   opaque

Le patron et la démonstration

Les calculs
Soit c la mesure de l'arête du cube.
Calculons le côté du triangle isocèle SAB.
En utilisant le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles SOI puis SIB,
nous avons SI² = SO²+OI² donc SI² = c²/4 + c²/4 soit SI² = c²/2
puis SB² = SI²+IB² donc SB² = c²/2 + c²/4 soit SB² = 3 c²/4

Finalement SB = c c'est à dire environ 0,866 c.



LE NID D'ABEILLES
Pourquoi les cellules à miel dans une ruche ont-elles la forme de dodécaèdres rhombiques ?
Prenons c = 1
Avec le théorème de Pythagore dans le triangle SIB nous obtenons,
SI = .
L'aire du triangle ABS est .
L'aire du dodécaèdre rhombique est 24 soit 6 soit environ 8,48.
Le volume de ce dodécaèdre rhombique est 2 (deux fois celle du cube de base).

Pour un même volume,
l'aire d'un cube est environ 9,524.
Le rapport des deux aires est d'environ 0,89.
Pour un même volume, l'aire du dodécaèdre rhombique est plus petite que celle du cube.

Pas folle... l'abeille !
Ainsi les cellules à miel dans une ruche d'abeilles en forme de dodécaèdres rhombiques
nécessitent moins de cire pour leur fabrication que si elles avaient une forme cubique.


Pour construire le patron du cube diamanté d'arête c,
- choisir un patron parmi les 11 patrons du cube.

- construire 6 cercles de rayon R = c soit environ 0,866 c.
- reporter dans chaque cercle le côté vert comme indiqué ci-dessous.
- découper en gardant les arcs verts autour des triangles isocèles : ils serviront de pattes de collage pour chaque pyramide.


En repliant le patron de telle façon que les pyramides soient à l'extérieur nous obtenons le rhomboèdre, tandis qu'en le repliant pyramides vers l'intérieur, le cube se referme sur les six pyramides.

Voici maintenant un patron du rhomboèdre ou dodécaèdre rhombique obtenu avec les douze losanges.



Créez maintenant un jeu optique en décorant
de bandes de papier de couleurs différentes
ou de traits le cube vide.

 

          


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