Le pentagone d'or des compagnons


 Une droite est dite coupée en EXTREME et MOYENNE RAISON
Lorsque la droite entière est à son plus grand segment ce que
le plus grand segment est au plus petit
                                  EUCLIDE les éléments   

 

Un petit test
Le nombre d'or, définition
Le rectangle d'or, sa spirale
Le triangle d'or, sa spirale, des démonstrations
Un petit tour expliqué pour devenir un génie du calcul...
Le pentagone des Compagnons
3 constructions du pentagone régulier

Quine et nombre d'or
Dans la nature
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Une construction ancienne du pentagone régulier

Nous allons construire un pentagone régulier par une méthode venant des Compagnons.

La construction s'effectue à partir d'un rectangle barlong ABCD de rapport 2 sur 1 (rappelant certaines travées de nef d'églises gothiques).
AB = 2R et CB = 2r.
Tracer le milieu O d'une longueur et le centre O' du rectangle.
On trace ensuite le cercle de centre O de rayon R puis
le cercle de centre O' et de rayon r.
Ce dernier cercle coupe la diagonale du rectangle en M et N.

Les cercles
.de centre D passant par M et
.de centre D passant par N coupent le cercle de rayon R en H, G, E et F.
Le pentagone HECFG est le pentagone régulier cherché.

PLEIN ECRAN

Démonstration 
Choisissons 2R pour la longueur du rectangle et 2r largeur du rectangle avec r = R/2.
Dans le triangle rectangle DEC ( inscrit dans un demi cercle de rayon R), nous avons
DC = 2R      et    CE² = DC² - DE²
donc CE² = 4 R² - DE²
or DE = DN = DO' + O'N = DO' + r
Dans le triangle rectangle DOO' nous avons DO'² = OO'² + DO² soit DO'² = r² + R²
d'où DO'² = r² + R² = (R/2)² + R² soit
DO'² = R²/4 + R² = 5R²/4 et
DO' = R/2
alors DE = DO' + r devient DE = R/2 + R/2 soit DE = (1 + ) R/2
donc CE² = 4 R² - DE² = 4 R² - R²/4 (1 +
Cela donne CE = R/2


Nous retrouvons HG = CE =
2 R () / 4 = 2 R sin (π/5) .
Eventuellement, voir la page du triangle d'or pour retrouver ce résutat.

Il s'agit donc bien du côté du pentagone régulier.

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