Pourquoi nos casseroles ont-elles toutes la même forme ?

Petite histoire
Explication graphique dynamique
En savoir plus

 Problème

Mais pourquoi donc nos ustensiles sont-ils si souvent fabriqués selon  les mêmes proportions, quelles que soient leurs dimensions ?
Et pourquoi la hauteur d'une casserole est-elle  approximativement  égale à son rayon quelle que soit sa contenance ?

 

   Super ! je vais être bien balancée...Histoire...

La petite fée du logis ... voulait offrir à   son prince une quantité fixe d'une potion dans un chaudron en or de sa fabrication. Bien sûr elle devait utiliser le moins d'or possible   pour ce   chaudron en forme de   cylindre qui avait une contenance et une épaisseur fixes.

Il fallait donc que la surface totale du chaudron soit minimale.

Et comme elle était futée elle trouva que le rayon du fond  du chaudron  devait être égal   à la hauteur  de celui-ci pour utiliser le moins d'or possible !

 

C'est ainsi que depuis ce temps-là, nos casseroles ont toutes
une hauteur approximativement égale au rayon de leur fond...

  

 

Explication graphique et dynamique

Prenons, par exemple, une capacité fixe de 1 unité arbitraire.
La quantité de matière est minimale en même temps que la surface S de la casserole pour une épaisseur donnée.

Dans l'animation suivante, le volume de la casserole est fixé : c'est une unité.

Lorsque la solution donnant une surface minimale est rencontrée, une pause de deux secondes a lieu et un petit bip sonore se fait entendre.

-On peut stopper l'animation automatique en cliquant le bouton STOP, on la relance en cliquant le bouton ANIMER.

-On peut faire varier le rayon manuellement avec la SOURIS ou au CLAVIER avec les flèches GAUCHE et DROITE.

On observe que la surface est minimale quand le rayon est égal à la hauteur.

Sur la courbe la précision est au pixel près, modifiez donc doucement le rayon pour voir apparaître le MINIMUM de la surface.

 

 

 

 

 En savoir un peu plus

Pour une hauteur h, un rayon R et un volume donnés, on a la relation :

V = π R² h        donc
h = V / π R²      et la surface

S = π
R²+ 2 π R h      soit     π R² + ( 2 π R ) (V / π R²)

Choisissons un volume unité : V=1,

S = π R² + 2 / R     et      h = 1 / ( π R²)  (**)

Quand on observe l'animation donnant l'évolution de la surface du matériau de la casserole en fonction de R,
on note que cette surface est minimale quand h=R.

En effet,
La fonction S(R) a pour dérivée 2 π R - 2 / R².
Cette dérivée s'annule pour un minimum de la surface en un rayon, tel que R3 = 1/π.

Dans ce cas nous avons π = 1/R3 ET avec la relation (**) :
h = R3/R² = R.
     
h=R
.
CQFD


Menu trucs  Accueil