Le joli tour de cartes de Zig et Puce



Ce tour est issu du n° E571 de Diophante.fr

Puce informe le public que Zig, pour le moment dans sa loge, va dans quelques instants réaliser un véritable tour de magie avec un jeu de 32 cartes.
Dans un premier temps, Puce convainc le public que les cartes ne sont ni biseautées ni truquées puis il décrit le déroulement du tour de cartes:
1) Le public choisira une carte (désignée par X) dont je prendrai connaissance.
2) Un premier volontaire dans la salle viendra mélanger les 32 cartes autant de fois qu’il le désire avant de les étaler sur une table en quatre rangées de huit cartes, faces invisibles.
3) Un deuxième volontaire choisira à sa convenance un nombre de cartes qu’il retournera faces visibles.
4) Je retournerai une seule carte qu’elle soit face visible ou face invisible.
5) Je quitterai la scène avant l’arrivée de Zig et j’irai au fond de la salle afin qu’on ne puisse pas me soupçonner de communiquer une quelconque information à mon partenaire.
6) Zig arrivera sur scène et au bout de quelques secondes annoncera à voix forte le nom de la carte X. S’il dit juste,vous êtes invités à l’applaudir chaleureusement.
Le scénario se déroule jusqu’au point 3) inclus comme annoncé par Puce et après le passage du deuxième volontaire, on a le tableau T1 suivant :

Conformément au point 4), Puce retourne le valet de c
œur qui est au bout de la première rangée, ce qui donne le tableau T2 qui sera le seul tableau vu par Zig :


Zig arrive sur scène et comme prévu après quelques secondes de réflexion annonce que la carte X choisie par le public est la Dame de C
œur.
Applaudissements nourris...
Par quelle « alchimie » purement mathématique, Zig a-t-il pu identifier de manière certaine la carte choisie par le public ?



SOLUTION

Le jeu complet :
. Le public joue, puis Puce.
. Ensuite Zig qui ne voit que la configuration laissée par Puce va deviner la carte choisie initialement.

Aucun trucage : Zig ne connaît pas la carte initiale,.

Dans chaque animation, le bouton CONSIGNES est un bouton à bascule.
Pour visualiser ou cacher les consignes il suffit de cliquer ou recliquer ce bouton.

Afin de prouver que Zig est vraiment devin sans trucage, je proposerai ensuite deux animations indépendantes : l'une pour le jeu de Puce et une autre pour le jeu de Zig :dans cette dernière il faudra présenter la configuration obtenue dans le jeu de Puce.



Jeux de Puce puis de Zig en deux animations séparées et indépendantes.

Afin de s'assurer qu'il n'y a aucun trucage, les deux animations suivantes sont indépendantes. En dehors de la configuration finale obtenue lorsque Puce a retourné sa carte et que l'on doit transmettre à Zig, il n'y a aucune communication entre les deux animations. Le tour est purement mathématique.
L'animation de Puce permet de savoir quelle configuration il doit laisser à Zig (garder visible cette configuration) pour la reproduire sur l'animation de Zig.
Ensuite dans celle de Zig, on doit redonner la dernière configuration obtenue avec Puce. Alors au vu de cette configuration, Zig donne la carte qui a été choisie initialement.

Dans chaque animation, le bouton CONSIGNES est un bouton à bascule.
Pour visualiser ou cacher les consignes il suffit de cliquer ou recliquer ce bouton.



Ce que Puce doit calculer et proposer

Dans cette première animation, sont présentées de façon dynamique les étapes 1 à 5 du tour.

.Le public choisit une carte : la cliquer.
.Puis une personne du public vient retourner quelques cartes du jeu au hasard.
.Zig choisit alors judicieusement une carte à retourner et laisse une nouvelle configuration de cartes à Zig.

Bien entendu Zig ne visualise ni n'entend rien.
Dans l'animation qui suit, nous reprenons les étapes précédentes et l'ordinateur aide Puce dans le choix de la dernière carte à retourner pour laisser une nouvelle configuration à Zig.



Le décodage de Zig

Dans cette animation, nous entrons (en cliquant les cartes adéquates), la configuration laissée par Puce à Zig.
Il s'agit de la configuration obtenue dans l'animation précédente.
Seules les positions des cartes sont retranscrites.

Le jeu ayant été mélangé, peu importe les figures des cartes. Cela renforce d'autant la magie mathématique du tour ;).

Zig est alors capable de retrouver la carte initialement choisie par le public.

Dans l'animation, MELANGER le jeu avant de cliquer les cartes pour indiquer la configuration obtenue par Puce.

PLEIN ECRAN

 

Analyse sur l'exemple proposé

Code échangé entre Zig et Puce avant de jouer.


Les cartes sont numérotées de 0 à 31 :
7 de Trèfle à As deTrèfle --> 0 à 7
7 de carreau à As de Carreau --> 8 à 15
7 de Cœur à As de Cœur --> 16 à 23
7 de Pique à As de Pique --> 24 à 31.


Par exemple la Dame de
Cœur a le numéro 21.

Bien entendu ce code peut être différent. Il est à la base du tour. Zig et Puce doivent absolument se mettre d'accord sur un codage des cartes avant de jouer.

.

Ce que Puce doit calculer et proposer
Supposons que le public ait choisi la Dame de Cœur. La Dame de Cœur a le numéro 21 soit 10101 en binaire.

Une fois les cartes mélangées un volontaire a retourné quelques cartes les cartes comme proposé ci-contre.
On numérote la position des cartes de 0 à 31 sur le jeu. Puis chaque carte retournée est codée en binaire.
Ici nous avons les cartes 0, 1, 4, 7, 10, 11, 14, 15, 16, 18, 20, 27 et 29 qui sont donc codées :
0 ,1, 100, 111, 1010, 1011, 1110, 1111, 10000, 10010, 10100, 11011, 11100.
Ces nombres binaires sont complétés avec des zéros à gauche de façon à avoir tous la même longueur :
00000 ,00001, 00100, 00111, 01010, 01011, 01110, 01111, 10000, 10010, 10100, 11011, 11101.
Nous additionnons ces nombres binaires avec la NIM-addition, telle que 0+0 =0 ; 1+1 = 0; 1+0=1 ; 0+1=1.
Nous trouvons :
10010.

Pour trouver la carte que Puce doit retourner il faut NIM-retrancher cette somme au n° de la carte choisie initialement : ici la Dame de Cœur codée 10101.

Comme la NIM-addition est identique à la NIM-soustraction, on obtient :
10010
+ 10101 = 00111 qui est le nombre décimal : 2² + 2 + 1 = 7.
Il faut donc retourner la carte en position 7 en partir de 0.
C'est la huitième carte. Elle a été retournée ci-contre.


Décodage de Zig

Zig est donc face au tableau ci-contre à gauche.
Il lui suffit de transcrire, le n° de la position de chaque retournée (en partant de 0) en binaire.

Ici les n°s 0, 1, 4, 10, 11, 14, 15, 16, 18, 20, 27 et 29 donnent
00000 ,00001, 00100, 01010, 01011, 01110, 01111, 10000, 10010, 10100, 11011, 11101

Ensuite il calcule la NIM-addition de ces nombres et obtient :
00000+00001+00100+01010+01011+01110+01111+10000+10010+10100+11011+11101=10101
C'est-à-dire 21 en décimal.

La carte cherchée est celle codée 21, c'est bien la Dame de Cœur.


Les animations précédentes sont réalisées avec le codage indiqué :
7 de Trèfle à As deTrèfle --> 0 à 7
7 de carreau à As de Carreau --> 8 à 15
7 de Cœur à As de Cœur --> 16 à 23
7 de Pique à As de Pique --> 24 à 31.

Nous aurions d'autres résultats numériques avec un codage différent entre Zig et Puce. Mais cela fonctionnerait de la même façon.

Le calcul n'est pas évident pour ceux qui n'ont pas l'habitude de coder et décoder en base deux. Aussi le site Diophante.fr propose quelques astuces pour exécuter ce tour en public avec deux personnes complices. Le résultat est bluffant.

Sinon, chacun disposant d'un ordinateur peut utiliser les animations précédentes.
Elles sont indépendantes, montrant ainsi qu'il n'y a pas de communication entre elles et donc pas de tricherie.

ANALYSE GENERALE et procédure mentale proposées par Diopohante.fr

Pour en savoir plus et retrouver des procédures mentales de calcul sans utiliser les animations précédentes aller sur Diophante .fr voir la solution du E571 ICI.

Et plus particulièrement le décryptage de Diophante lui-même.

C’est un problème de décodage binaire.
On peut affecter à une carte quelconque d’un jeu de 32 cartes la représentation binaire d’un entier compris entre 0 et 31.
Par exemple l' As de Pique n°31 est codé en binaire 11111.
Bien entendu, avant la réalisation du tour, Zig et Puce se sont mis d’accord sur le même système de codage des cartes.

Par ailleurs on peut associer à un tableau de dimensions 4*8, avec ses k cartes faces visibles et 32- k cartes face invisibles, la représentation binaire d’un nombre compris entre 0 et 31.
En numérotant de 0 à 31 les cases du tableau de la première rangée à gauche jusqu’à la quatrième rangée à droite, on peut attribuer à chacune des k cartes faces visibles* un entier compris entre 0 et 31 donc sa représentation binaire.
Par la NIM-addition (modulo 32) de ces k nombres, on obtient la représentation binaire d’un entier compris entre 0 et 31, qui est appelée la trace du tableau.
Peu importe que la même trace soit obtenue avec une ou plusieurs configurations distinctes de cartes faces visibles ou invisibles. L’important est d’avoir une trace de départ T1 telle qu’avec une seule carte T à retourner, Zig puisse déduire la carte T2 choisie par le public.
Le tour consiste donc pour Puce à présenter à Zig un tableau dont la trace T2 modulo 32 correspond à la carte que ce dernier doit deviner.
Puce a devant les yeux le tableau laissé par le public. Il calcule mentalement sa trace T1 modulo 32.Il connaît la carte T2 que Zig doit deviner. Il s’agit donc pour lui de retourner la carte T qui permet de passer de T1 à T2. C’est tout simple. La représentation binaire de T est telle que T1+ T = T2 modulo 32. D’où T= T2- T1 qui est aussi égal à T2 + T1 par la NIM-addition.

Avec un peu d’entraînement et un repérage astucieux du résultat des NIM-additions dans le tableau, le tour peut être réalisé en moins de 30 secondes aussi bien par Puce que par Zig. Zig peut être encore plus rapide que Puce car il a u seul calcul à faire mais Puce a l’avantage de pouvoir “baratiner” le public tout en faisant ses calculs de tête.


* ou invisible si l’on préfère. On retiendra les faces visibles (ou invisibles) si elles sont en plus petit nombre pour faciliter les calculs de la NIM-addition.


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