Merveilleux carrés magiques...      

 

La tortue du Luoshu. Cliquer pour en savoir plus.           

Définition
Calcul de la somme magique, petit secret de magie...
   et fabrication animée d'un carré à la demande
Méthode animée de Bachet de Méziriac
Méthode animée La Loubère
Méthode animée des symétries
Méthode animée du compartiment intérieur
Histoire
Bibliographie

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Définition

Un carré magique d'ordre n est un tableau carré, formé de cases en même nombre dans les lignes et les colonnes.
Dans chaque case est écrit un nombre, de telle sorte que les n2 premiers entiers soient écrits,
que les sommes des nombres pris dans une même ligne, une même colonne,
ou dans chacune des deux diagonales, soient égales.

Exemple avec un carré de 3 cases de côté
Il s'agit de placer les nombres de 1 à 9, de telle façon que la somme des nombres sur chacune des 3 lignes,
chacune des 3 colonnes et chacune des deux diagonales soit la même.

Plusieurs questions se posent :
Cette somme peut-elle varier ?
La solution est-elle unique ?

La somme est unique :
En effet on utilise tous les nombres de 1 à 9 dont la somme est égale à 45 (Cf le
gnomon dans ma Trucs Maths).
Les 3 lignes ont la même somme, donc sur chaque ligne, la somme est de
45/3, soit 15. Il en est de même pour chaque colonne.
Si l'on compose 15 en somme de 3 nombres différents allant de 1 à 9, on en trouve 8 :
1 + 5 + 9
         1 + 6 + 8         2 + 4 + 9         2 + 5 + 8
2 + 6 + 7
         3 + 4 + 8         3 + 5 + 7         4 + 5 + 6
On note que dans ces décompositions, le nombre 5 apparaît 4 fois, il est situé au centre du carré et il interviendra dans une ligne, une colonne et les deux diagonales.
Le nombre 2 (tout comme le 4, le 8 et le 6), apparaît 3 fois, il est donc situé dans un coin du carré pour intervenir dans une ligne, une colonne et une diagonale.
Le nombre 9 (tout comme le 3, le 7, et le 1), apparaît 2 fois, il est donc situé au milieu d'une ligne ou d'une colonne d'un bord pour intervenir une fois dans une ligne et dans une colonne.

La solution n'est pas unique :
Les résultats précédents montrent que la solution est unique à des rotations et symétries près. On trouve finalement 8 configurations du carré magique d'ordre 3, en voici une ci-dessous.

 



   

   

 

Calcul de la somme magique
Lorsque nous avons un carré de n cases sur n cases de côté, nous utilisons les n2 premiers nombres entiers dont la somme est

n2 (n2+1)/2          (Cf le gnomon dans ma page Trucs Maths).

Les n lignes ont chacune la même somme qui est donc égale au résultat précédent divisé par n soit à n(n2+1)/2.

Par exemple si n = 4, la somme magique est 4(16+1)/2 soit 4(17)/2 soit 34.

Secret de magie (http://www.youtube.com/embed/MZzzH9voyAI )
Si l'on connaît par cœur le carré magique ci-dessous, on peut épater les amis en en trouvant rapidement d'autres,
ayant une somme arbitraire supérieure à 34.
En effet, dans ce carré, on note que les 4 premiers nombres 1, 2, 3 et 4 sont situés sur 4 lignes et 4 colonnes différentes.
Aussi pour atteindre sur chaque ligne, chaque colonne etc, la somme désirée,
il suffit seulement d'ajouter aux quatre premiers nombres de 1 à 4, le complément de 34 à la somme désirée.

1
16
10
7
6
11
13
4
15
2
8
9
12
5
3
14

Par exemple si l'on veut une somme de 56, il suffit d'ajouter 22 = 56 - 34 à chacun des quatre nombres 1, 2, 3 et 4.
Ainsi on remplace
1 par 1+ 22 soit 23 puis
2 par 24, puis
3 par 25 et enfin
4 par 26.
Les autres nombres restent inchangés.

23
16
10
7
6
11
13
26
15
24
8
9
12
5
25
14

On obtient un carré magique dont la somme est 56.
Ce carré possède de nombreuses propriétés de symétrie.

Applaudissez maintenant le magicien belge dans la vidéo suivante :
http://www.youtube.com/embed/MZzzH9voyAI



VARIANTE
De même dans la vidéo suivante,
http://www.dailymotion.com/video/xs3j7q_gili-le-carre-magique_fun?search_algo=1 ,
le même excellent magicien part du carré magique de somme 54 (aux nombreuses propriétés de symétrie)
constitué des entiers consécutifs de 6 à 21 :

6
11
20
17
21
16
7
10
15
18
13
8
12
9
14
19


Il suffit par exemple de remplacer les quatre premiers nombres 6, 7, 8 et 9 par
6 + 23 = 29
7 + 23 = 30
8 +23 = 31 et enfin
9 + 23 = 32.
Pourquoi 23 ?
Parce que la différence, entre le nombre proposé par le spectateur : 77 et la somme magique 54,
est 77 - 54 = 23.
Ainsi on constitue un nouveau carré magique de somme 77.

29
11
20
17
21
16
30
10
15
18
13
31
12
32
14
19



Pour fabriquer rapidement ce carré en tenant compte du nombre proposé par le spectateur, il suffit de
- mémoriser le premier carré magique des entiers de 6 à 21 et
- soustraire 54 au nombre proposé par le spectateur.
  Ce nombre peut être négatif car le spectateur choisit un nombre entre 51 et 99 :
  avec 52 on aurait 52 - 54 = -2.
- modifier les quatre nombres de 6 à 9 en leur ajoutant le résultat de la soustraction, en tenant surtout compte du signe du résultat.

Exemple
Si le spectateur propose 52, le résultat de la soustraction est 52 - 54 = -2
donc effectuer :
6 - 2 = 4 puis
7 - 2 = 5 puis
8 - 2 = 6 et enfin
9 - 2 = 7.

Voici la grille avec la somme 52 :

4
11
20
17
21
16
5
10
15
18
13
6
12
7
14
19



Entrer la somme désirée avec les flèches ou au clavier (suivi de ENTREE).
On peut obtenir des carrés variés avec la même somme.


PLEIN ECRAN



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