Les caméléons


Problème
proposé avec P.Jullien,
si quelqu'un connaît l'origine exacte de ce problème, ce serait bien de nous la communiquer, merci ;o)

Sur une île, les caméléons peuvent prendre trois couleurs : rouge, vert ou jaune. Lorsque deux d'entre eux, de couleurs différentes, se rencontrent, ils prennent immédiatement la troisième couleur disponible.
Se peut-il qu'à un moment donné ils aient tous la même couleur ?

L'animation
Choisir le nombre de caméléons, puis les nombres de rouges et de verts à l'aide des flèches. Ensuite cliquer GO.
Remarque
Les camélons se déplacent et tournent aléatoirement
-quand les caméléons sortent en haut, ils réapparaissent en bas et quand ils sortent à droite ils réapparaissent à gauche ;
-quand les caméléons sortent en bas, ils réapparaissent en haut et quand ils sortent à gauche ils réapparaissent à droite.

PLEIN ECRAN

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Analyse
Prenons par exemple, le cas où il y a initialement quatre caméléons rouges, un vert et deux jaunes.
Nous représentons par des triplets (r, v ,j) les nombres de caméléons respectivement rouges, verts et jaunes.
Dans le diagramme suivant, les flèches indiquent les possibilités de passer d'une situation à une autre.
Ainsi si un rouge rencontre un vert ,nous obtenons 3 rouges, 0 vert et 4 jaunes c'est à dire que (4, 1, 2) --> (3, 0, 4).
Si un rouge rencontre un jaune, (3, 0, 4) --> (2, 2, 3).

Seules sont représentées les situations qui sont donnent ou qui découlent de la situation initiale (4,2,1) : 4 caméléons rouges, 1 vert et 2 jaunes.
Nous observons que nous pouvons aboutir à la situation (0,0,7) où tous les caméléons sont jaunes.

Les situations en gris clair ne peuvent pas être obtenues à partir de (4, 1, 2). Il est donc impossible d'arriver à ce que les caméméons soient tous rouges ou tous verts.

Appelons ORBITE, l'ensemble des situations pouvant être atteintes à partir d'une situation donnée.
Toute orbite est l'orbite des situations qui la composent, mises à part les trois situations (n, 0, 0) (tous rouges) ou (0, n, 0) (tous verts) ou (0, 0, n) (tous jaunes). Ces trois situations sont seules sur leur orbite.

L'ensemble de toutes les situations est recouvert par trois orbites disjointes que nous représentons ici par trois couleurs : rouge, vert et jaune.


Plusieurs cas se présentent selon que le nombre de caméléons est ou n'est pas un multiple de 3.

1°) Si le nombre n de caméléons est un multiple de 3, c'est à dire si n=3k avec k nombre entier, alors les trois situations (n, 0, 0) puis (0, n, 0) et (0,0,n) sont sur la même orbite, celle de (k ,k, k).
.Si la situation initiale fait partie de l'orbite de (k,k,k), il est possible que tous les caméléons deviennent de la même couleur, arbitrairement choisie ;
.Sinon il est impossible que tous les caméléons deviennent de la même couleur.
Avec n=3k, la situation (r, v, j) appartient à l'orbite de (k,k,k), si et seulement si, les trois nombres de caméléons de différentes couleurs sont égaux modulo 3 (c'est à dire si elles ont le même reste dans la division par 3).

2°)
Si le nombre n de caméléons n'est pas multiple de 3, c'est à dire si n=3k+1 ou n=3k+2, il est toujours possible que les caméléons deviennent tous de la même couleur car, modulo 3, deux des valeurs r, v ou j sont égales.
En effet, si toutes les valeurs sont distinctes, elles valent dans le désordre : 0, 1 ou 2 et leur total vaut 3, cela voudrait dire que le nombre de caméléons serait un multiple de 3 et c'est contraire à l'hypothèse.
La couleur commune correspond, à la fin, à celle du nombre qui est différent des deux autres modulo 3.

Dans l'exemple proposé
(4, 1, 2) vaut modulo 3 : (1, 1, 2).
C'est le troisième nombre qui est différent. Il correspond au nombre de jaunes.
Le jaune est la couleur finale.

A vos expériences ! ! !

Détendons-nous
en coloriant le caméléon : pour cela il faut déplacer une ou plusieurs couleurs sur le caméléon central...

 



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