Bissectaires...


Segments partageant un triangle en deux parties de même aire
Enveloppe de segments partageant le triangle en deux parties de même aire

Segments partageant un triangle en deux parties de même périmètre
Segment partageant un triangle en deux parties iso-aires et iso-périmètres
et démonstration géométrique



Segments partageant un triangle en deux parties de même aire
L
e point M parcourt le périmètre du triangle.
Il est à l'origine d'un segment partageant le triangle ABC en deux parties grise et jaune ayant la même aire.

On peut déplacer le point M à la main avec la souris autour du triangle ABC :
cliquer dans le cadre et déplacer le point M autour du triangle.

On peut également déplacer les trois sommets du triangle ABC.

 

Enveloppe de segments partageant le triangle en deux parties de même aire

Replacer la souris dans le cadre (cliquer éventuellement) si l'animation s'arrête.

On peut là aussi déplacer le point M à la main avec la souris autour du triangle ABC :
cliquer dans le cadre et déplacer le point M autour du triangle.

On peut également déplacer les trois sommets du triangle ABC.

Les segments partageant le triangle ABC en deux parties de même aire ont comme enveloppe
une sorte d'étoile composée de trois arcs d'hyperbole colorés en rose.



Cf aussi Tangente n°149 sur les Courbes.

Segments partageant un triangle en deux parties de même périmètre
Le point M parcourt le périmètre du triangle.
Il est à l'origine d'un segment partageant le triangle ABC en deux parties ayant le même périmètre.


On peut déplacer le point M à la main avec la souris autour du triangle ABC :
cliquer dans le cadre et déplacer le point M autour du triangle.

On peut également déplacer les trois sommets du triangle ABC.

Avec l'enveloppe d'un segment sur chacun des trois côtés...





Segment partageant un triangle en deux parties iso-aires et iso-périmètres
En déplaçant doucement le point M sur le périmètre du triangle,
on peut observer que lorsque le segment 'bissecteur' du périmètre passe par le centre du cercle inscrit,
il partage également le triangle en deux parties de même aire.

La démonstration géométrique (ci-dessous) est très simple.



Démontrons géométriquement que :


1°) cette condition est suffisante




Appelons p le demi périmètre du triangle ABC.

Appelons I, le centre du cercle inscrit au triangle.
Soit r son rayon.

Pour calculer l'aire du triangle MBM', il suffit de le découper en deux triangles BIM' et BIM.
BIM' a pour aire BM' * r/2
et BIM a pour aire BM * r /2
La somme des aires de ces deux triangles est donc (BM +BM') * r /2
soit p * r/2.

On ferait la même chose avec le polygone MACM' en le découpant en trois triangles :
MIA d'aire MA* r/2
AIC d'aire AC * r/2 et enfin
ICM' d'aire M'C * r/2
Comme
[MM'] partage le périmètre en deux parties de même longueur
le polygone MACM' a pour aire également p * r/2.

Ce raisonnement reste valable quel que soit le triangle ABC.

Quand [MM'], bissecteur de périmètre, passe par I centre du cercle inscrit à ABC,
le triangle est bien partagé en deux parties de même aire.
De même on montrerait que
Quand [MM'], bissecteur de l'aire, passe par Ie centre du cercle inscrit à ABC,
le triangle est bien partagé en deux parties de même périmètre.

Remarque :
on retrouve ainsi la formule donnant l'aire du triangle :
Périmètre * (rayon cercle inscrit / 2)


2°) cette condition est nécessaire


Rappel
L'aire d'un triangle est égale au demi périmètre multiplié par le rayon du cercle inscrit.

Supposons un segment [MM'] dans le triangle à la fois bissecteur de l'aire et du périmètre.
Prenons encore p pour demi périmètre de ABC et r comme rayon du cercle inscrit.


L'aire des deux parties est donc égale à p * r/2.
Le tour de chaque partie est donc p (en ne comptant pas MM').

MM' découpe toujours le triangle en un triangle et un quadrilatère ou en deux triangles.

Supposons que
[MM'] ne passe par I centre du cercle inscrit.
Nécessairement le point I se trouve soit dans le triangle soit dans le quadrilatère.
En effet, I est toujours à l'intérieur du triangle ABC.


Exemple de figure les longueurs vertes et roses sont supposées identiques



Quel que soit le polygone (triangle ou quadrilatère) contenant I dans le triangle,
le calcul de son aire après découpage en triangles autour du point I, mène au résultat :
p * r/2 + Aire (MIM').

Nécessairement on obtient Aire (MIM') = 0 et donc I est situé sur [MM']
CQFD.


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