Bissectaires...



Segments partageant un triangle en deux parties de même aire
Segments partageant un triangle en deux parties de même périmètre
Segment partageant un triangle en deux parties iso-aires et iso-périmètres
et démonstration géométrique





Segments partageant un triangle en deux parties de même aire

Dans les trois animations,
on peut déplacer les points M et C avec la souris OU au clavier s :
HAUT et BAS sur els côtés obliques ;
GAUCHE et DROITE sur le côté horizontal.


L
e point M parcourt le périmètre du triangle.
Il est à l'origine d'un segment partageant le triangle ABC en deux parties ayant le même aire.


Dans l'animation suivante,

-On peut déplacer le point M autour du triangle ABC, ou le point C, à la main avec la souris ou au clavier .
Alors la position du point N est automatiquement calculée et mise à jour.

-On peut également déplacer le sommet C du triangle.

Dans ce cas, les traces sont réinitialisées.

-Cliquer les boutons adéquats pour visualiser les traces du milieu du segment de partage ou bien l'enveloppe de ce segment.


Les segments partageant le triangle ABC en deux parties de même aire ont comme enveloppe une sorte d'étoile composée de trois arcs d'hyperbole.

Démonstration ICI
Voir également le site de Diophante pour plus de solutions.




Segments partageant un triangle en deux parties de même périmètre

Le point M parcourt le périmètre du triangle, le déplacer avec les flèches du clavier ou avec la souris.
Il est à l'origine d'un segment partageant le triangle ABC en deux parties ayant le même périmètre.


On peut aussi déplacer le point C.

Dans l'animation suivante,

-On peut déplacer le point M autour du triangle ABC, ou le point C, à la main avec la souris ou au clavier .
Alors la position du point N est automatiquement calculée et mise à jour.

-On peut également déplacer le sommet C du triangle.

Dans ce cas, les traces sont réinitialisées.

-Cliquer les boutons adéquats pour visualiser les traces du milieu du segment de partage ou bien l'enveloppe de ce segment.
Solution et démonstration ICI
Voir également le site de Diophante pour plus de solutions.


Segments partageant un triangle en deux parties de même aire et de même périmètre

Cette fois il faut essayer de trouver la position du point M,
déterminant une ligne qui coupe le triangle à la fois en deux parties de même périmètre et de même aire.

La ligne dessinée partage d'emblée le triangle en deux parties de même périmètre,
à vous de jouer pour obtenir des aires identiques.

En déplaçant doucement le point M sur le périmètre du triangle,
ou bien en lançant l'animation avec une petite vitesse,
on peut observer que lorsque le segment bissecteur du périmètre passe par le centre du cercle inscrit,
il partage également le triangle en deux parties de même aire.

La démonstration géométrique qui suit est très simple.


Démontrons géométriquement que :


1°) cette condition est suffisante




Appelons p le demi périmètre du triangle ABC.

Appelons I, le centre du cercle inscrit au triangle.
Soit r son rayon.

Pour calculer l'aire du triangle MBM', il suffit de le découper en deux triangles BIM' et BIM.
BIM' a pour aire BM' * r/2
et BIM a pour aire BM * r /2
La somme des aires de ces deux triangles est donc (BM +BM') * r /2
soit p * r/2.

On ferait la même chose avec le polygone MACM' en le découpant en trois triangles :
MIA d'aire MA* r/2
AIC d'aire AC * r/2 et enfin
ICM' d'aire M'C * r/2
Comme
[MM'] partage le périmètre en deux parties de même longueur
le polygone MACM' a pour aire également p * r/2.

Ce raisonnement reste valable quel que soit le triangle ABC.

Quand [MM'], bissecteur de périmètre, passe par Ie centre du cercle inscrit à ABC,
le triangle est bien partagé en deux parties de même aire.
De même on montrerait que
Quand [MM'], bissecteur de l'aire, passe par Ie centre du cercle inscrit à ABC,
le triangle est bien partagé en deux parties de même périmètre.

Remarque :
on retrouve ainsi la formule donnant l'aire du triangle :
Périmètre * rayon cercle inscrit


2°) cette condition est nécessaire


Rappel
L'aire d'un triangle est égale au demi périmètre multiplié par le rayon du cercle inscrit.

Supposons un segment [MM'] dans le triangle à la fois bissecteur de l'aire et du périmètre.
Prenons encore p pour demi périmètre de ABC et r comme rayon du cercle inscrit.


L'aire de chacune des deux parties est ainsi égale à p * r/2.
Le tour de chaque partie est donc p (en ne comptant pas MM').

MM' découpe toujours le triangle en un triangle et un quadrilatère ou en deux triangles.

Supposons que
[MM'] ne passe par I centre du cercle inscrit.
Nécessairement le point I se trouve soit dans le triangle soit dans le quadrilatère.
En effet, I est toujours à l'intérieur du triangle ABC.


Exemple de figure les longueurs vertes et roses sont supposées identiques



Quel que soit le polygone (triangle ou quadrilatère) contenant I dans le triangle,
le calcul de son aire après découpage en triangles autour du point
I , mène au résultat :
p * r/2 + Aire (MIM').

Nécessairement on obtient Aire (MIM') = 0 et donc I est situé sur [MM']
CQFD.


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