Les rebonds du billard

La simulation
Comprendre
Billard triangulaire


Un vrai voyage de découvertes ne consiste pas à rechercher
de nouveaux horizons mais à avoir un nouveau regard
.
                                                                    Marcel Proust


La simulation
On fait partir une boule rouge d'un coin du billard pour atteindre une cible verte.
La boule doit rebondir un nombre de fois fixé à l'avance sur les côtés du billard.

Quelle direction donner à la boule ?
Ci-dessous positionner avec la souris la cible verte à l'intérieur du billard, puis fixer le nombre de rebonds.
Observer la direction initiale de la balle et essayer de conjecturer.


PLEIN ECRAN

Comprendre
Le plus court chemin, c'est la ligne droite ! Nous en avons déjà parlé dans la page des pompiers.
Une boule de billard, lancée d'un point donné rebondit (comme un rayon lumineux) en faisant un angle symétrique à celui par lequel elle est arrivée.
Elle suivra le chemin le plus court vers le point désiré.
Dans la première animation ci-dessous, nous cherchons à viser le but après 5 rebonds sur les côtés.
Construisons des rectangles identiques autour du billard puis les symétriques des points visés en partant du But donc de la fin du parcours désiré.
Nous obtenons sur les rectangles annexes, la ligne droite AB'C'D'E', distance la plus courte de Départ vers But.
Des segments symétriques ayant la même longueur, on obtient le véritable chemin ABCDE suivi par la boule sur billard.

PLEIN ECRAN



Dans l'animation ci-dessous, on peut modifier au départ la position de la balle et choisir le nombre de rebonds.
Pour des raisons pratiques, les symétriques sont construits successivement autour de chacun des côtés du billard.
Toutefois l'analyse reste la même.
Si la balle frappe un coin... elle sort !

PLEIN ECRAN

Billard triangulaire
Peut-on trouver une trajectoire pour une boule de billard ou un rayon de lumière qui boucle en une seule fois ?
La réponse est affirmative dans le cas où l'orthocentre est intérieur au triangle (les trois angles sont aigus).
La trajectoire passe par les pieds des hauteurs du triangle.




Pour animer la figure en cabrijava cliquer ici.

Sur la figure ci-dessus, le trajet de la lumière est dessiné en vert. C'est le triangle orthique de ABC.
Pour le démontrer on peut observer que les points A, I J et C sont sur le cercle de diamètre [AC]
(propriété du triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre l'hypoténuse de ce triangle).
Alors les angles inscrits AIJ et ACJ sont supplémentaires.
De la même façon, les points K, I, B et C sont cocycliques (cercle de diamètre [BC] ),
donc les angles inscrits KIB et KCB (=ACJ) sont supplémentaires.
On en déduit l'égalité des mesures des angles AIJ=AIK+KIJ et KIB=BIJ+KIJ.
Finalement on a l'égalité AIK=JIB. Il en est de même pour les angles sur les autres côtés.
CQFD.




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