Des billards pour mathématiciens...

Le problème initial

L'ANIMATION avec un billard polygonal régulier à choisir.
REMARQUES
ANALYSE et résultats


Et un BILLARD ELLIPTIQUE *****


Le problème Sur l'idée du n°I165 de Diophante.fr

Une table de billard a la forme d'un triangle équilatéral ABC d'un mètre de côté.

On place une boule (assimilée à un point) en un point D du côté BC à 10 cm de B.
La frappe de la boule se fait selon un angle inférieur à 90° mesuré dans le
sens anti horaire par rapport à la droite BC.
On s'intéresse aux seules trajectoires de la boule qui rebondit sur les côtés du triangle
selon la loi classique de la réflexion avant de revenir pour la première fois à son point
de départ D.
Q1 Déterminer les trajectoires distinctes qui ont exactement 21 mètres de longueur.
Pour chacune d'elles, donner l'angle de frappe et le nombre de rebonds* de la boule.
Q2 Une nouvelle frappe de la boule donne 90 rebonds* avec une longueur de la trajectoire qui s'exprime encore en un nombre entier de mètres.
Déterminer la ou les trajectoires correspondantes (longueur, angle de frappe)
.



 
*Nota: tout rebond correspond au changement de direction de la boule en un point intermédiaire de sa trajectoire
L'arrivée en D compte pour un rebond mais pas le départ de D.

 


ANIMATION

Pour une bonne compréhension de la trajectoire de la boule, voici une modélisation que chacun pourra paramétrer à sa guise.
Nous allons de plus ici, essayer de repérer les trajectoires périodiques.



Dans cette animation il faut ,
- CHOISIR d'emblée le polygone régulier ;

- l'angle de frappe au départ: : frapper ce nombre au CLAVIER en utilisant un point pour la virgule.

   On peut entrer jusqu'à 7 décimales.
   C'est important dans le cas du billard équilatéral avec les questions Q1 et Q2 du problème ci-dessus.
   Il est souhaitable d'entrer au moins 5 décimales pour obtenir le bon test d'arrêt dans le triangle,
   pour un nouveau cycle périodique (angle et position).
   Dans certains cas 4 décimales sont suffisantes mais pour 90 rebonds, 7 sont nécessaires quand d=0.5..
   Plus le nombre de rebonds est important pour revenir à la case de départ, meilleure doit être la précision de l’angle d’attaque.

- la position de la boule au départ sur la base horizontale du triangle.

- Le bouton RAZ permet de tout réinitialiser ; on peut alors modifier la position et l'angle de frappe de la boule.
- le bouton GO fixe les paramètres et en appuyant sur la flèche on lance l'animation.
On peut avancer pas à pas avec le mode MANUEL, ou laisser le mode AUTOmatique agir.
Dans ce dernier cas, lorsque la boule revient au point de départ et reprend la direction initiale, on peut poursuivre en appuyant sur la flèche et vérifier ainsi que la trajectoire se superpose à celle déjà parcourue.
- le bouton COULEURS permet de colorier aléatoirement les segments de la trajectoire de la boule.

Dans la réalité, le seul moyen parfait de réalisation serait d'envoyer un rayon lumineux sur un billard équilatéral composé de miroirs.

Choix effectués

 Une assez grande précision, pour éviter d'indiquer une orbite faussement périodique :
   --> les tests sont faits à 0.5 pixel près pour la position de la boule par rapport au départ ; le côté mesurant 440 pixels, la précision est de 1/880ème.
   --> le test se fait également sur l'angle en ce même point : la boule doit repartir dans la même direction.
 Si la trajectoire repasse par le même point avec une direction différente de la direction de départ,    on ne sait pas vraiment ce qu’elle va faire dans le futur.
L'angle de frappe doit donc être très précis.

On sait que :
pour des valeurs quelconques de l'angle d'attaque de la boule, et de l'abscisse du point de départ D, la boule ne revient jamais à son point de départ : il n'y a pas de trajectoire périodique.



Tester
par exemple pour le triangle équilatéral :
- les valeurs obtenues dans la résolution qui suit ce paragraphe ;
- un angle de frappe de 60° avec une distance de 0.1 puis de 0.5 ;
- un angle de 20° avec une distance de 0.1 donnant un mouvement perpétuel.

 


REMARQUES

On dit qu’une trajectoire du billard est périodique si au bout d’un certain temps la boule repasse
   par le même point avec
   la même direction
(on dit aussi : orbite périodique).

ATTENTION, la direction doit être la même pour qu’ensuite la trajectoire se répète indéfiniment.


La longueur d’une trajectoire périodique est la distance effectuée par la boule pour revenir à sa position initiale avec sa direction de départ.


Katok (professeur à l’université Penn state aux Etats Unis et spécialiste de systèmes dynamiques) a posé la question suivante :
"Est ce que, dans TOUT triangle, il y a (au moins) une trajectoire de billard périodique ? ".
C'est un problème ouvert qui n'a aujourd'hui pas de réponse.

Dans un triangle quelconque, on sait qu'il existe une trajectoire périodique : le triangle orthique, joignant les pieds des hauteurs du triangle.
Voir ICI.

Dans TOUT triangle, dont le plus grand angle est inférieur à 100 degrés, Schwartz montre qu'il y a une trajectoire de billard périodique.


Intéressons-nous au triangle équilatéral

Pour des valeurs quelconques de l’abscisse de D et de l’angle d’attaque, le rayon ne revient jamais à son point de départ.


La trajectoire est périodique avec un angle α de frappe, si et seulement on a l’équation tan( α ) = r / racine(3) avec r nombre rationnel positif qui s’exprime en fonction de
Px et de Py selon les notations qui suivent dans l'analyse ci-dessous.


Exemple de mouvement perpétuel rappelant certaines fractales :


 

 



ANALYSE et résultats

Q1
Nous allons travailler sur un treillis composé de triangles équilatéraux de côté l'unité.
On reporte un certain nombre de fois le triangle ABC en utilisant des symétries par rapport à chacun de ses côtés.
On reporte aussi le nom des sommets : le symétrique de A étant noté aussi A.
De même pour B et C.

En reportant symétriquement par rapport au côté du triangle équilatéral le segment figurant le trajet de la boule au rebond suivant
on obtient une ligne droite sur laquelle nous allons travailler.




Sur la figure ci-dessous les segments de même couleur sont de même longueur.
Ils correspondent chacun à un rebond d'un côté sur le suivant.
On peut poursuivre ainsi pour figurer le trajet complet de la boule sur le billard.


Le trajet complet de la boule est représenté par une ligne droite sur le treillis.

   

Le problème ICI : la boule doit revenir au point de départ.

Donc la ligne droite se terminera en un point F sur le côté BC d’un des triangles.
F correspond au point de départ D = Départ et sera tel que FB = DB et FC = DC.


Soit Px la longueur du côté horizontal du triangle rectangle d’hypoténuse la longueur 21 parcourue.
Soit n le nombre de bases entières de cette projection Px horizontale.

Soit Py la longueur du côté vertical du triangle rectangle d’hypoténuse la longueur 21 parcourue.
Soit k le nombre de lignes horizontales traversées par la ligne droite de parcours (c’est le nombre de triangles équilatéraux entiers contenus dans Py.
L’angle sera l’arc dont la tangente est : (Py/Px).


Soit d la distance du point de départ au bord gauche B.
Dans notre cas d=0.1.

La boule doit finir son parcours en F qui se trouve sur un côté BC horizontal,

Si n est un nombre entier de côtés
------------------------------------------------------
Nous obtenons la projection horizontale :
Px = n + (1 - d ) + d = n + 1
Et la projection verticale :
Py = k

Nous obtenons : Px² + Py² = n ² + 1 + 2n + 3k² /4 = 21²
SOIT     
4n² + 3k² + 8n = 1760


Les seuls couples (n,k) entiers tels que
Px² + Py² = 21² sont
k = 24 et n = 2 donnant
Px = 3    ET    Py= 24
L’angle est environ 81.786°
Le nombre de rebonds est 48.

 

Si nous avons n entier côtés de base plus un demi-côté
----------------------------------------------------------------------------------
Nous obtenons la projection horizontale :
Px = n + 0.5+ (1 - d ) + d = n + 1.5
Et la projection verticale :
Py = k

Il s'ensuit :
Px
² + Py² = n ² + 1.5² + 3n + 3k² /4 = 1760
SOIT     
4n² + 3k² + 12n = 1755

Donc deux autres solutions :

k=15 ; n=15 -->
Px = 16.5    ET    Py= 15
L’angle est environ 38.21321°
Le nombre de rebonds est 48.


PUIS
k=9 ; n=18 -->
Px = 19.5    ET    Py= 9
L’angle est environ 21.7867°
Le nombre de rebonds est 48.




FINALEMENT nous avons trois solutions représentées ci-dessus.
 

Px = 3    ET    Py= 24
L’angle est environ 81.7867892983°
Le nombre de rebonds est 48.

Px = 16.5    ET    Py= 15
L’angle est environ 38.2132107°
Le nombre de rebonds est 48.
Px = 19.5    ET    Py= 9
L’angle est environ 21.7867892°
Le nombre de rebonds est 48.

Les rebonds sont décomptés en dénombrant les intersections de la trajectoire droite de la boule avec les droites du réseau triangulaire.


Q2

Nou
s raisonnons de la même façon pour obtenir trois solutions avec 90 rebonds.

Px = 33    ET    Py= 24
L’angle est environ 32.2042275°
La longueur est 39 unités.

Px = 34.5    ET    Py= 21
L’angle est environ 27.7957725°
La longueur est 39 unités.
 
Px = 1.5    ET    Py= 45
L’angle est environ 87.7957725°
La longueur est 39 unités.

Tester ces résultats avec l'animation ci-dessus.
ATTENTION il est préférable de donner au moins 5 décimales pour l'angle de frappe.

(*)  Pour une explication complète des calculs aller sur Diophante.fr ICI.
Et plus sur le billard équilatéral ICI :
http://www.diophante.fr/images/stories/diophante/decembre_2018_2/I165AB.pdf


Un BILLARD ELLIPTIQUE à moduler

Cette animation permet de transformer l'ellipse en changeant le rapport du petit axe sur le grand axe avec le bouton fléché sous la figure.
La position initiale de la boule sur l'ellipse peut également être modifée.

Les trajectoires qui se referment, sont passionnantes car elles conduisent à un mouvement périodique, qui se répète à l’identique indéfiniment.
On peut donc prédire ce que la boule fera.
Le billard, à l’instar du système solaire ou des courants marins, est un système qui évolue dans le temps à partir de conditions initiales données ; c’est ce que l’on appelle un système dynamique. Lorsque l’on étudie ces systèmes, on cherche toujours à prévoir leur comportement futur.



A VOS JEUX !

 


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