L'identité de Bézout géométrique *
L'équation de BEZOUT ax + by = 1 admet des solutions entières si et seulement a et b sont premiers entre eux.

Nous allons travailler avec des nombres entiers positifs, aussi nous allons modifier légèrement l'équation précédente en :

Si m et n sont deux nombres premiers entre eux
alors il existe deux entiers u et v tels que
                      m v - n u = 1

L'algorithme étendu d'Euclide permet de résoudre cette équation. Voir aussi mon algorithme d'Euclide.
Cependant, nous allons travailler sur un graphique dynamique afin de mieux comprendre et visualiser les résultats.

Dans le plan quadrillé, appelons nœuds les points de coordonnées entières,
soit O de coordonnées (0, 0) et
soit A un nœud de coordonnées (m, n) avec m et n premiers entre eux.

Sur l'exemple ci-dessous : m = 18 et n = 11 et nous avons A (18, 11).
Le point P de coordonnées (5, 3) est légèrement au-dessous de [OA] et
le point Q de coordonnées (13, 8) est légèrement au-dessus de [OA].
Nous pouvons constater que 18 x 3 - 11 x 5 = -1 et que 18 x 8 - 11 x 13 = 1.



Nous allons chercher de façon générale, parmi tous les nœuds, quels sont les plus proches du segment [OA].
On note qu'il ne peut y avoir aucun nœud sur le segment [OA] autre que les extrémités O et A (voir ma page Vu pas vu ?).
On va constater que de façon générale pour les points (u, v) les plus proches du segment OA, nous aurons
mv - nu = 1
ou
mv - nu = -1

Animation dans le rectangle
Choisir avec les flèches les deux entiers m et n désirés.
Ensuite, il est possible de déplacer très doucement la droite avec un léger halo (parallèle au segment [OA]) .
Noter alors l'évolution de l'équation de la droite et les points donnant des valeurs entières.
On peut cacher cette droite en cliquant le bouton adéquat.
Cliquer chaque nœud pour obtenir la valeur de mv - nu en ce point de coordonnées (u, v).


PLEIN ECRAN



Comprendre avec le parallélogramme et l'animation
Dans l'exemple ci-dessous, m = 4 et n = 3.
Choisissons
A de coordonnées (m, n) ;
C de coordonnées (m, 2n) ;
B de coordonnées (0, n).
Construisons le parallélogramme ABCD.

Pour un point M de coordonnées (x, y) du plan, appelons b(M) le nombre my - nx (dans le cas présent, 4y - 3x).
Nous constatons que dans le parallélogramme privé de ses bords [AC] et [BC], la fonction b prend des valeurs entières de 0 à mn -1.
En traçant les parallèles à la droite (OA) passant par les nœuds, nous constatons que b prend toutes les valeurs consécutives de 0 à mn -1.
Nous obtenons ainsi les droites d'équation : my - nx = b.



Vérifier ces résultats dans différents cas, sur l'animation ci-dessous.
Je proposerai quelques explications ensuite.

 

Quelques explications
Quelles que soient les valeurs des deux entiers m et de n, premiers entre eux,
nous savons que
-la droite (OA) a pour équation
c'est à dire
         my - nx = 0
;

-
les parallèles à (OA) ont pour équation
         my - nx = b
;

-
qu'en faisant glisser vers le "haut" chaque droite d'équation my - nx = b ,
 b prend des valeurs strictement croissantes ;

Montrons que
sur chaque segment parallèle à (OA) construit sur un nœud, dans le parallélogramme (sans les bords [AC] et [BC]), le nœud est unique..
Remarquons que dans la page Vu pas vu ? nous avons déjà donné une explication de ce résultat.

Supposons qu'il existe dans le parallélogramme,
deux points M(x, y) et N(x', y')
à coordonnées entières ayant la même valeur de b, sur le même segment.

Alors
my - nx = my' -nx'
m (y - y') = n ( x - x')
ou
(1)   =

M et N sont contenus dans le parallélogramme et sur le même segment parallèle à (OA),
donc
(x-x') < m
et
(y-y') < n.

L'équation (1) signifie que serait une écriture simplifiée de la fraction .
Or ce n'est pas possible. En effet, m et n sont deux nombres premiers entre eux, la fraction m/n est donc irréductible.
Les points M et N sont donc identiques.
Chaque segment parallèle à (OA) passant par un nœud, ne passe par aucun autre nœud.

Finalement, dans le parallélogramme,
- sur chaque segment, il y a au plus un nœud donnant une valeur entière de b ;
- deux nœuds différents ont forcément des valeurs entières différentes
         (puisqu'ils ne peuvent être sur le même segment et
           qu'en "montant" une droite prend des valeurs b strictement croissantes) ;
-
en excluant les bords [AC] et [BC], le parallélogramme contient exactement mn nœuds ;
- la plus petite valeur d'un nœud est 0 soit b(O) = m*0 - n*0 = 0 ;
- la plus grande valeur d'un nœud est inférieure à mn
        
( valeur obtenue sur le segment [BC] (le plus "haut") exclu avec b(B) = m*n - n*0 = mn) ;

Nous avons donc mn valeurs entières différentes allant de 0 à mn - 1.
Il y a mn nœuds prenant des valeurs entières toutes différentes.
On en conclut que les mn nœuds prennent chacun une valeur différente de 0 à mn - 1.

Chaque valeur entière de 1 à mn - 1, est ainsi prise une et une seule fois en un nœud du parallélogramme.
En particulier, l
a valeur 1 est obtenue au nœud le plus proche du segment [OA].
Ce nœud est unique dans le parallélogramme.


Nous venons de trouver une illustration graphique de l'identité de Bézout.
Nous obtiendrions exactement le même raisonnement pour le nœud correspondant à la valeur négative -1.        

Autres résultats

Lorsque deux nombres sont premiers
Si PGCD (a, b) = c Alors, il existe 2 entiers relatifs x et y (positifs ou négatifs) tels que ax + by = c

EGALITE DE BEZOUT
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls et d leur PGCD.
Il existe deux entiers relatifs u et v vérifiant l'égalité de BEZOUT au + bv = d.

THEOREME DE BEZOUT GENERALISATION
L'équation de BEZOUT ax + by = c ( c entier fixé non nul) admet des solutions entières si et seulement si c est un multiple de d (d étant le PGCD de a et de b)

THEOREME DE GAUSS Si un nombre a divise un produit de facteurs et si a est premier avec l'un des deux facteurs alors a divise le deuxième facteur.

Pour en savoir plus, sur le théorème de Bezout :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_de_B%C3%A9zout

* sur une bonne idée de Pierre Jullien

 


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