Le même angle

PROBLEME N° 315 APMEP P.Jullien
Dans le plan euclidien, soient quatre points A, B, C et D, alignés dans cet ordre sur une droite (D).
Déterminer l'ensemble des points M du plan d'où l'on voit les segments [AB] et [CD] sous le même angle.



SOLUTION

Trouvons d'emblée un point K d'où l'on voit les segments [AB] et [CD] sous le même angle.
Pour cela fixons un point P, sous lequel nous voyons le segment [CD] sous un angle alpha.
            -Nous traçons l'arc capable (C) d'où l'on voit [CD] sous l'angle alpha
              (utiliser le cercle circonscrit aux points P, C et D).
            -Traçons alors un angle AQB de même mesure.
              En traçant par exemple la parallèle à (PC) passant par A puis la parallèle à (PD) passant par B.
              Ces deux parallèles se coupent en Q, point qui voit [AB] sous l'angle alpha.
            -Traçons l'arc capable (C') d'où l'on voit [AB] sous l'angle alpha
              (en utilisant le cercle circonscrit aux points A, Q et B).

            - Les deux arcs capables se coupent en un point K d'où l'on voit les deux
              segments
[AB] et [CD] sous le même angle alpha.
Appelons (C) et (C') les deux arcs tracés portant P et Q.
Ils se coupent en un point K qui voit les deux segments sous le même angle alpha.


Les cercles (C) et (C') sont homothétiques dans l'homothétie de centre H et de rapport
k
= HK/HN.
Nous avons aussi
k = HL/HK.
Donc HK/HN = HL/HK et
HK . HK = HN . HL
On a alors : HK . HK . HK . HK= HL. HK. HN . HK
Soit : HK4 = HL . HK . HN . HK
Mais HL . HK est aussi la puissance du point H par rapport au cercle correspondant à l'arc (C'),
cette puissance est aussi égale à HA . HB,
De même HN . HK est la puissance du point H par rapport au cercle de l'arc (C),
cette puissance est aussi égale à HD . HC,
finalement HK4 = HA . HB . HC . HD
Ce résultat, dépend uniquement de A, B, C, D fixés au départ.
Première conclusion
Le point K est donc situé dans le cercle de centre H et de rayon r égal à la racine quatrième du produit HA . HB . HC . HD

Réciproquement, tout point M de ce cercle, qui n'est pas sur la droite (D), voit le segment [AB] sous un certain angle beta, pour lequel on retrouve M et un autre point (qui peut lui être confondu, lorsque les cercles (C) et (C') sont tangents).

CONCLUSION finale
Le lieu cherché est le cercle de centre H et de rayon r, privé de ses points communs avec la droite (D).
Ci-dessous, l'animation traduit ce résultat. On peut déplacer les points A, B, C et D.
En déplaçant le point M sur le cercle obtenu, on vérifie que ce point voit les segments [AB] et [CD] sous le même angle.
On peut aussi déplacer le point gris P qui permet de choisir arbitrairement l'angle de départ et donc de modifier les deux arcs capables (C) et (C').

Si l'animation s'arrête, replacer la souris dans le cadre.
Pour déplacer soi-même le point M,
cliquer d'abord à l'intérieur du cadre pour le stopper, le déplacer ensuite,
il redémarrera seul, avec un nouveau clic intérieur au cadre.

REMARQUES
L'angle alpha est maximum lorsque les arcs (C) et (C') sont tangents.
Pour cela déplacer le point P de manière à rendre tangents les deux arcs capables.
Déplacer ensuite le point M, l'angle en M est maximal au point de tangence des deux arcs.

La même solution vaut lorsque B et C sont permutés (lorsque les segments se chevauchent, sans que l'un contienne l'autre).
L'angle alpha peut prendre toutes les valeurs, comprises entre 0 et p.


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