L'anse de panier

L'anse dynamique à trois cercles
Le programme de construction
Pourquoi cela marche : démonstration


Ce n'est pas facile
D'avoir ton équilibre,
Avec cette pression
En chacun de tes points

...
D'un extérieur uniforme...
Tiraillée que tu es
Sur ton parcours entier...


Guillevic 1967

L'anse à trois cercles
Il y a quelque temps, un maçon de mes amis m'a demandé la construction d'une anse de panier.
Il ne parlait pas de l'anse du panier dans lequel je ramasse les champignons en automne.
Son projet était de réaliser une belle entrée dans un manoir.

L'anse de panier est une approximation d'une demi-ellipse par un nombre impair de cercles.
Pour avoir une belle courbe, ces cercles doivent avoir la même tangente au point de raccordement.

Nous allons étudier une approximation obtenue par un ensemble de trois cercles.

Pour en savoir plus sur différentes constructions d'une l'ellipse voir Ellipse dans trucs maths (rubrique courbes).
Nous noterons sur l'animation ci-dessous que la différence entre l'ellipse (tracée discrètement en jaune) et l'anse de panier n'est vraiment perceptible que pour une hauteur de voûte assez basse.
La construction proposée est très simple
. Elle est harmonieuse et permet de choisir la hauteur de la voûte.

Dans la figure ci-dessous, on peut déplacer :
-le point A pour modifier la largeur de l'anse ;
-le point C pour modifier la hauteur de l'anse ;
-le point O pour déplacer l'anse dans le cadre.
Si l'animation n'apparaît pas, mettre à jour Java ici Mettez à jour votre machine virtuelle Java. Indispensable pour voir les animations Java      

       

  Construction
-Construire le cercle (C) de centre O et de rayon [OA].
-Construire le rayon [OH] perpendiculaire en O à [OA].
-Choisir un point C sur [OH], selon la hauteur OC désirée pour l'anse.
-Tracer le segment [CA].
-Tracer le cercle (C') de centre C et de rayon [CH].
-Ce cercle (C') coupe le segment [AC] en K.
-Tracer la médiatrice (D) de [AK] (droite perpendiculaire à [AK] en son milieu I).
-Cette médiatrice (D) coupe la droite (OH) en O2 et la droite (OA) en O1.
-Tracer le cercle de centre O1 et de rayon O1A ; cet arc coupe la médiatrice (D) en B.
 Ne garder que le petit arc de cercle allant de A vers B.
-Tracer le cercle de centre O2 et de rayon O2C.
 Ce cercle passe par B (nous allons le démontrer ci-après), ne garder que le petit arc allant de B vers C.
-Compléter les deux arcs par symétrie par rapport à l'axe (OC).
Nous obtenons ainsi l'anse de panier colorée en rose et vert.
    
PLEIN ECRAN puis touche F11 sur PC
   

 

Démonstration

Soit I le milieu de [AK].
Les égalités des mesures d'angles, notées sur la figure, se justifient parce que
les angles ont leurs côtés respectivement perpendiculaires deux à deux.

Posons a = OA ; b = OC ; c = AC. Alors CH = a - b.
Des triangles ayant des angles respectivement de même mesure sont semblables.
Ainsi le triangle O1 I A est semblable au triangle COA donc (Equation G).
Le triangle O1OO2 est semblable au triangle COA donc (Equation E).
De même nous obtenons : (Equation F).

Cherchons la longueur O2B
O2B = O1A + O1O2

Nous avons avec l'équation G,
.



Et  

OO1 = a - O1A   donc

Avec l'équation E, nous obtenons :

Comme O2B = O1A + O1O2, il vient

Nous savons que  c² = a² + b².

Finalement





Cherchons la longueur O2C
Avec l'équation F, on a :


Nous venons de démontrer que O2B = O2C.
Cela montre que l'on peut construire le cercle de centre O2 passant par C et B.
La construction est licite et les deux cercles utilisés pour construire l'anse ont une tangente commune en le point B,
puisque les supports des rayons sont identiques et que la tangente en un point d'un cercle est perpendiculaire au rayon qui aboutit à ce point.

En tapant anse panier dans votre moteur de recherche préféré, vous trouverez d'autres constructions plus ou moins compliquées avec plusieurs arcs.
Celle-ci a ma préférence d'autant que la démonstration repose sur des connaissances élémentaires.


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