Aanagrammes diophantiennes

Le problème de Pierre Jullien
Sa solution
Solution générale avec animation


 

Le problème
Retrouvez ce problème de Diophante G268 ici :
http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/g-probabilites/g2-combinatoire-denombrements/2117-g268-anagrammes-diophantiennes


Première partie
Avec les lettres de DIOPHANTE, on peut écrire 9 ! (360 880) mots dans lesquels chaque lettre apparaît une unique fois.

En rangeant tous ces mots par ordre alphabétique, à quel rang R le mot DIOPHANTE apparaît-il ?
Quel mot apparaît au rang 2011 ?

Deuxième partie
Une autre manière d’obtenir tous ces mots est de dresser un tableau factoriel, de type 1.
Partant d’une anagramme de DIOPHANTE, par exemple : PHODATINE, on écrit sur la première ligne la première lettre P.
Puis sur la deuxième ligne, on insère la deuxième lettre H, pour obtenir la liste : HP PH.
On recommence pour les lignes suivantes : pour chacun des mots de la liste n-1 (gardés dans l’ordre), on intercale, de gauche à droite, la nième lettre, aux rangs 1, 2, …, n.
Ainsi, sur la troisième ligne, on obtient OHP HOP HPO (à partir de HP) puis OPH POH PHO (à partir de PH).

D’où le début du tableau :
P
HP PH
OHP HOP HPO OPH POH PHO
DOHP ODHP OHDP OHPD DHOP HDOP HODP HOPD DHPO HDPO etc.

Ainsi on obtient, sur la neuvième ligne, tous les mots construits avec toutes les lettres de PHODATINE, utilisées chacune une fois.

Quel doit être l’anagramme de départ d’un tel tableau factoriel, de type 1, pour que le mot DIOPHANTE apparaisse dans la neuvième ligne, au rang R obtenu précédemment ?
Quel mot apparaît au rang 2011, dans cette neuvième ligne ?

Troisième partie
Une troisième manière d’obtenir tous ces mots est de dresser un tableau factoriel, de type 2.
Partant d’une anagramme de DIOPHANTE, par exemple : PHODATINE, on écrit sur la première ligne la première lettre P.
Puis sur la deuxième ligne, on insère, de gauche à droite, la deuxième lettre H, pour obtenir HP PH.
On recommence, en introduisant une nouvelle lettre pour toute la liste précédente, au rang 1, puis au rang 2, etc.

D’où le début du tableau :
P
HP PH
OHP OPH HOP POH HPO PHO
DOHP DOPH DHOP DPOH DHPO DPHO ODHP ODPH HDOP PDOH etc.

Comme précédemment, on obtient, sur la neuvième ligne, tous les mots construits avec toutes les lettres de PHODATINE, utilisées chacune une fois.

Quel doit être l’anagramme de départ d’un tableau factoriel de type 2, pour que le mot DIOPHANTE apparaisse dans la neuvième ligne, au rang R obtenu précédemment ?
Quel mot apparaît au rang 2011, dans cette neuvième ligne ?

       

  Solutions pour 2011
Les bonnes réponses sont respectivement :

Q1 : 58852 et ADIPOTEHN
Q2 : AOINEPTHD et ENIDPOATH
Q3 : OEADPTNHI et IHAENOPTD.        

 

Solution générale avec animation

L'animation suivante est assez lourde donc un peu longue à charger,
cependant cela en vaut la peine puisque le résultat est instantané, quel que soit le nombre demandé.

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