Pick  aire et points...   Ben ! Il suffit de compter les pommiers !

Comptons les points
Comptons les côtés des carrés
Comptons les mailles


Ou comment déterminer l'aire d'un polygone simple
en comptant seulement soit des points, soit des côtés soit des mailles.

Comptons les points

Compliquée la forme de votre figure ? Pourtant en prenant comme unité un carreau du  réseau dessiné,  
nous calculerons très simplement son aire, c'est à dire la mesure de  sa surface.
Nous allons tout bonnement compter des points !

Déplacer ci-dessous les points numérotés de 0 à 9 sur le réseau.
On peut utiliser la souris ou bien les quatre flèches du clavier.

Surtout ne pas croiser les côtés et respecter l'ordre des sommets.

 

 

Soit e le nombre de points du réseau qui touchent les côtés, sommets compris (14 ci-dessous).
Soit i le nombre de points qui sont à l'intérieur de la figure (12 ci-dessous). 

Alors l'aire est égale à
e/2 + i - 1

Cette formule est la formule de Pick.

Elle est valable pour un polygone simple :
- les sommets du polygone restent sur les  nœuds du quadrillage et
- le polygone n'est pas croisé et ne doit pas avoir de "trous".

 

Georg Alexander Pick (autrichien, 1859-1942) présenta son théorème en 1899.
Les mathématiciens ont découvert depuis, qu'il n'existe pas de théorème, directement équivalent en trois dimensions, qui permette de calculer le volume d'un polytope en comptant les points internes et les points du bord.

Pick présenta à Albert Einstein les travaux de grands mathématiciens qui aidèrent ce dernier à développer sa théorie générale de la relativité.
Il était juif et bien qu'ayant fui à Prague en 1938, il fut déporté dans le camp de concentration de Theresienstadt en 1942, où il mourut.

En savoir plus et démonstration ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pick

Dans le commerce sont vendues des planches à clous
appelées aussi géoplans

  


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