Une roue vertigineuse : la roue de Ferris


 

Le problème

Une grande roue tourne dans un sens, une deuxième plus petite, dont le centre est fixé sur la circonférence de la plus grande roue, tourne plus rapidement dans le même sens.
Enfin une troisième roue, dont le centre est fixé sur le pourtour de la deuxième, tourne en sens inverse.
On fixe une nacelle sur le tour de la troisième roue.
Vertigineux ! Il s'agit là de la roue de Ferris.
Quelle est la trajectoire de la roue ?

Dans l'exemple proposé, le rayon de la grande roue est 1 ; celui de la deuxième 1/2 et celui de la troisième 1/3.
La deuxième roue tourne en apparence 7 fois plus vite que la grande dans le même sens.
La troisième tourne 17 fois plus vite que la première en sens inverse.

Curieusement, le chemin parcouru par la nacelle présente une belle symétrie d'ordre 6. Inattendu, non ?

Question

Quel est le chemin parcouru par le passager de la nacelle ?
Quelles courbes obtiendrons-nous avec d'autres vitesses et d'autres sens de rotation ?


Comment obtenir des courbes présentant de belles symétries ?


L'animation ci-dessous permet d'analyser la situation.
On peut changer les paramètres dès lors que les roues sont au repos.


ANIMATION

   . Ne pas hésiter à modifier les différentes valeurs des paramètres.
   . Les vitesses de ROTATION sont entrées au clavier : chaque case prend la couleur de la roue concernée.
      -> Grande roue entre -5 et +5
      -> Autres roues entre -30 et +30
   . La phase indique le décalage de la nacelle par rapport à l'horizontale dans le sens horaire.
   . Les autres boutons sont explicites, les cocher ou décocher : le fait de 'cacher' les roues permet d'isoler le parcours de la nacelle.
   . Pour voir la trajectoire de la nacelle, cocher le bouton Trace du parcours.
   . Pour le plaisir, varier les couleurs en utilisant les boutons carrés colorés.
   . La vitesse de rotation est également modulable avec le curseur horizontal de vitesse.

Bon voyage dans l'espace... !

PLEIN ECRAN






COMMENTAIRES et SOLUTION

La roue de Ferris, a été construite pour la première fois à l'exposition universelle de Chicago en 1893.
Elle a été conçue par l'ingénieur spécialiste des ponts George Ferris, qui était un expert en étais, poutres et supports.
Cette roue a coûté 380 000 $ pour sa construction. Elle mesurait 80m de hauteur.
Elle était constituée de deux moteurs à vapeur et pouvait supporter 2 160 personnes.
Elle contenait 36 nacelles de 60 places chacune (places assises ou debout).

De nombreuses évolutions de cette roue ont vu le jour depuis : la nacelle n'est plus cantonnée au seul périmètre de la roue...
Elles peuvent être aujourd'hui constituées deplusieurs roues reliées par des bras hydrauliques

Frank A. Farris :
"I was thinking of the curve traced by a particleon a whhel mounted on a wheel mounted on a wheel, each turning at a different rate.
The first term represents the largest wheel, of radius 1, turning counter-clockwise at one radian per second.
The second term represents a smaller wheel centered atthe edge of the first, turning 7 times as fast.
The third term is for the smallest wheel centered atthe edge of the second, turning 17 times as fast as the first, clockwise and out og phase.
This curve displays a 6-fold symmetry, a fact that one would not guess... "

FARRIS, Frank A. "Wheels on wheels on wheels-Surprising Symmetry."
Mathematics Magazine 69, N° 3(1996) : 185-189.

Courbes mathématiques

Pour comprendre cette partie mathématique,
il est indispensable de maîtriser le cercle trigonométrique et les notions de cosinus et sinus (ICI).
Nous prendrons comme origine des coordonnées (0,0), le centre de la plus grande roue.

Le centre de la deuxième est un point du pourtour de la grande roue.
Soit t un instant donné depuis le début de la rotation de la grande roue.
Soit a la vitesse de la première roue, b celle de la seconde et c celle de la troisième roue.
Soit θ l'angle de décalage de la nacelle : le déphasage.

Le rapport des rayons est ici 1 ; 0.5 et 1/3.

Les coordonnées de la nacelle sont :
x(t) = cosinus(a * t) + 0.5 *cosinus(b*t) + (1/3) * cosinus(c*t + θ )
y(t) = sinus(a * t) + 0.5 *sinus(b*t) + (1/3) * sinus( c*t+ θ )

Pour ceux qui connaissent les nombres complexes :
x(t) + i y(t) = e a *it  +   0.5 * e i *b*t  +   (1 /3) * e i*( c*t + θ)



SYMÉTRIE de la courbe

Si lorsque la valeur de t augmente de &pi/n, nous retombons sur le même angle, nous obtenons une symétrie d'ordre n.


Par exemple avec a = 1, b=7 et c=-17
Ces trois nombres ont le même reste dans la division par 6.
a=1   a   pour reste 1 dans la division par 6.
b=7   a   pour reste 1 dans la division par 6.
c=-17  a même reste que -17+6+6+6 =1 dans la division par 6. Donc c=-17  a   pour reste 1 dans la division par 6.

AINSI quand t augmente de un sixième de tour, chaque roue a effectué un certain nombre de tours entiers plus un sixième du tour suivant.

Au bout d'un tour complet, chaque roue aura effectué six fois le même chemin.

De façon générale, si a, b et c ont le même reste dans la division par l'entier m, premier avec a, b et c,
alors la courbe présente une symétrie d'ordre m.



Pour en savoir plus mathématiquement, voir le texte en anglais de Frank A.Farrisici :
Wheels on Wheels on Wheel-Surprising Symmetry


APPLICATIONS

Dans le cas du problème, l'équation de la trajectoire est :

x(t) = cosinus(t) + 0.5 *cosinus(7*t) + (1/3) * cosinus(-17*t + π/2 )
y(t) = sinus(t) + 0.5 *sinus(7*t) + (1/3) * sinus(-17*t + π/2 )

qui deviennent si l'on préfère :
x(t) = cosinus(t) + 0.5 *cosinus(7*t) + (1/3) * sinus(17*t )
y(t) = sinus(t) + 0.5 *sinus(7*t) + (1/3) * cosinus(17*t )

Exemples

1, 7, -17     -> donne une symétrie d'ordre 6 ;
-2, 5, 19     -> donne une symétrie d'ordre 7 ;
1, -15, 17   -> donne une symétrie d'ordre 16.


Voici les courbes graphiques obtenues avec
la page : https://therese-eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/param_graph.html
et les équations mentionnées ci-dessus.


Avec les vitesses de rotation : 1 ; 7 ; -17   et une phase de π/2  -> symétrie d'ordre 6.



OU





Avec les vitesses de rotation : 1 ; -15 ; 17   -> symétrie d'ordre 16.


Avec les vitesses de rotation : 3 ; 8 ; -7   -> symétrie d'ordre 5.




Avec les vitesses de rotation : 3 ; 16 ; -23  -> symétrie d'ordre 13.



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