"Un cadeau de Noël des plus désirables pour l'amoureux du Rien,
un cadeau digne d'un mathématicien, puisqu'il descend du ciel et ressemble à une étoile.
..
Pourquoi les flocons de neige tombent-ils toujours
sous une forme qui a six angles et six branches,
duveteuses comme des plumes ?
Il doit y avoir une cause pour laquelle la neige
a cette forme de petite étoile à six branches.
Cela ne peut être dû au hasard.
Pourquoi toujours six ? "

L'étrenne de la neige sexangulaire Johannes KEPLER (1571-1630)

***
ICI : Sylvain Sailler a filmé d'un avion les champs de lave du volcan Holuhraun, en éruption depuis trois mois.
***

 Orgues volcaniques dites basaltiques
Notons qu'avec amour et délice, le mot ORGUE présente la prticularité d'être masculin au singulier et féminin au pluriel.

En partant en vacances en Islande, je n'imaginais pas observer des mathématiques dans les paysages et les villes de cette île attachante et magique. Pourtant...

L'Islande est une île d'environ 100 000km² située sur le rift de Silfra à cheval sur les plaques tectoniques américaine et eurasienne.

Très répandues en Islande les orgues basaltiques (ou colonnes basaltiques ou prismes volcaniques) sont des formations rocheuses composées de longues colonnes d'un diamètre variable. Elles ont souvent une section hexagonale plus ou moins régulière.
Le plus souvent elles sont verticales mais quelquefois elles sont horizontales ou en gerbes.

Un des composants est le basalte.
Elles sont issues d'une coulée de lave relativement épaisse qui se refroidit lentement au contact de l'eau ou de l'air très froid.
La coulée subit alors une contraction de volume. Plus le refroidissement est lent plus les prismes sont réguliers.

Elles font partie du paysage de ce magnifique pays de glace et de feu et ont inspiré de nombreux architectes.

Notons que ces orgues se retrouvent dans la plupart des régions volcaniques :
        .dans la Chaussée des Géants en Irlande ;
        .
à Bort-les-Orgues et à Saint-Flour en Auvergne ;
        .au Hoggar dans le Sahara algérien ;
        .dans le Wyoning aux USA...

A Reykjavik la Cathédrale Hallgrímskirkja, emblème architectural de Reykjavik, reprend les formes des orgues basaltiques.
Posée sur un relief, elle domine la ville du haut de ses 75 mètres. L' intérieur est sobre, lumineux et vertical.

Ces orgues ont également inspiré l'artiste contemporain Olafur Eliasson et le cabinet d'architecture danois Larsen dans la construction de Harpa, la salle de concert de Reykjavik inaugurée en août 2011.
Posée sur la mer à l'entrée du port, c'est un vaisseau de 28.000 m² qui offre une façade de 10.000 vitraux de mille formes différentes.
Eliasson l'a rendue lumineuse quand la nuit tombe. L' intérieur d'Harpa, couleur de lave, est inouï par ses proportions.

On est fasciné par l'agencement des facettes de glace sur les façades : pentagones et hexagones.
Des symétries kaléidoscopiques reflètent le port et le paysage alentour.
Ces polygones sont des réminiscences des colonnes de basalte si fréquentes sur l'île.

  Quelques photos, de la nature vers l'architecture.

Dans l'animation suivante, il est possible de faire défiler les images à plusieurs vitesses ou tout simplement de cliquer sur les imagettes : les numéros 1 et 2 amènent de nouvelles imagettes que l'on peut cliquer.
Si on a déjà cliqué dans le cadre de l'animation, on peut utiliser les touches fléchées Haut et bas du clavier.

Orgues basaltiques horizontales :
 observer la coupe formant un pavage de polygones pentagonaux ou hexagonaux.

L'église de Hallgrimur à Reyjjavik est la plus haute d'Islande(clocher de 73m).
Elle est inspirée des orgues basaltiques naturelles de la région.
Pour un statiticien, sa forme évoque la courbe en cloche de la loi normale.
L'église de Hallgrimur à Reyjjavik est la plus haute d'Islande (clocher de 73m).
Elle est inspirée des orgues basaltiques naturelles de la région.
Pour un statiticien, sa forme évoque la courbe en cloche de la loi normale.
Cette loi de probabilité a été introduite par Gauss en 1809 (mesures astronomiques)
et reprise par Laplace en 1812 (Théorie analytique des probabilités).

Théorème du nid d'abeille  

Dans ma page
http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/bulles_savon_simple.htm
on voit que

- parmi tous les polygones ayant n côtés et de même périmètre p, le polygone régulier est celui qui a la plus grande aire.
et que
- à périmètre constant, la forme dont l'aire est maximale est le disque.
Ce problème appelé problème isopérimétrique, correspond à celui issu du mythe de la reine Didon lors de la création de Carthage au 9ème siècle avant Jésus-Christ : trouver la forme géométrique qui maximise son aire avec un périmètre fixé.

Si l'on décide de paver un plan avec une seule forme de polygone régulier, les formes possibles pavantes sont le triangle, le carré et l'hexagone.
On démontre qu' à périmètre constant, plus le nombre de côtés du polygone régulier est grand, plus grande est sa surface.

En voici une élégante démonstration datant de 1841 par Joseph Liouville publiée dans son Journal de Mathématiques Pures et Aplliquées (Voir (1))
Théorème
Les aires des polygones réguliers isopérimètres forment une série croissante, qui commence par le triangle et se termine par le cercle ; et les périmètres des polygones équivalents forment une série décroissante, à partir du triangle jusqu'au cercle.

Démonstration
Deux polygones réguliers isopérimètres d'un nombre de côtés différents étant donnés, par exemple un pentagone ABCDE et un quadrilatère abcd, on peut considérer ce dernier comme un pentagone dont l'un des côtés serait nul, ou bien, en prenant arbitrairement un point e sur un des côtés de ce quadrilatère, par exemple, sur ad, le considérer comme un pentagone abcde, dont l'un des angles e serait égal à deux angles droits ; le quadrilatère régulier peut donc être regardé comme un pentagone irrégulier : donc son aire est plus petite que celle du pentagone régulier ABCDE.

Cette démonstration est remarquable par sa simplicité !

Elle ne nécessite aucun calcul.

Par ailleurs, l'aire du polygone régulier de périmètre constant p ayant n côtés (n>=3,
un polygone ayant au moins 3 côtés) s'exprime ainsi :
An
= .

On peut d'ailleurs vérifier par le calcul que cette série est bien croissante.
Voir la démonstration rapide ICI.

Elle atteint la limite quand n tend vers l'infini.



La limite est le cercle (considéré comme un polygone ayant une infinité de côtés).

Ainsi, à périmètre constant parmi les polygones réguliers paveurs, l'hexagone régulier est celui qui a la plus grande surface.


Le théorème du nid d'abeille précédemment connu sous le nom de conjecture du nid d'abeille (Honeycomb conjecture en Anglais), énonce que le pavage hexagonal régulier est la partition du plan en surfaces égales ayant le plus petit périmètre.
Ce théorème fut démontré par Thomas Hales en 1991 avec des révisions en 2012.

Le nom de ce théorème est tiré de l'observation du pavage hexagonal des alvéoles d'abeille.

Dans l'espace, on obtiendra le plus grand volume avec des prismes à section polygonale.

Les premières traces écrites de ce problème mathématique se trouvent dans le livre V de Pappus, IVe siècle après J.C. Reprenant en partie le traité de Zénodore Sur les figures isomorphes (environ 180 avant J.C. ; aujourd'hui perdu) dans son livre V, on ne sait pas qui de Pappus ou de Zénodore a le premier soulevé la question géométrique d'un pavage hexagonal.

Les pythagoriciens savaient déjà que seuls trois polygones réguliers : le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier sont capables de paver le plan. Observant les alvéoles d'abeilles, Pappus déclara que les abeilles l'utilisent car pour une quantité de matériau donnée, la forme hexagonale est celle des trois qui permet de renfermer le plus de miel. Implicitement il comparait les trois polygones réguliers, dont on peut relativement facilement démontrer que la pavage hexagonal est la solution la plus économique.
Darwin l'évoqua également ; il pensait que le pavage hexagonal employé par les abeilles est le résultat d'une sélection naturelle où les abeilles qui utilisent le moins de cire l'emportent.



Pourquoi une géométrie naturelle hexagonale dans les orgues ?
L'hexagone correspond à la forme géométrique traduisant au mieux la répartition des déformations et le relâchement des contraintes de retrait.

Pour comprendre ces phénomènes, deux mots : homogénéité et hétérogénéité.

Hétérogénéité du refroidissement (effets sur les bords de la coulée) pour les laves et hétérogénéïté de l'évaporation pour les argiles (existence de gradient d'humidité dans l'épaisseur de la couche d'argile).
Homogénéité du milieu (aussi bien pour les argiles que pour les laves) : isotropie du milieu.
L'hétérogénéité va entraîner la fissuration. Par exemple pour les argiles la teneur en eau dans la partie inférieure de la couche est supérieure à celle de la partie supérieure, ce qui va provoquer un effet de "tuilage" par retrait différentiel. La partie supérieure en contact avec l'atmosphère présente un retrait libre alors qu'il y a accrochage de la partie inférieure à son support.

L'homogénéité du milieu va faire que les contraintes vont se répartir aussi d'une façon homogène dans le plan (pour les argiles) ou dans l'épaisseur (pour les laves). La forme idéale plane serait le cercle avec un inconvénient : le cercle ne pave pas le plan.
La solution optimale géométrique est l'hexagone qui résout à la fois l'isotropie et le problème d'empilement.
Évidemment, dans la nature, il y a de nombreux aléas, cet "idéal hexagonal" n'est pas toujours vérifié et nous retrouvons des motifs assez variés tendant toutefois vers l'hexagone régulier.

Cette occupation optimale de l'espace avec utilisation d'un minimum de cire se retrouve chez les abeilles : leurs alvéoles sont parfaitement hexagonales.


Aussi en France en Corse du sud à Punta Palazzu dans la Réserve Naturelle De Scandola classée patrimoine mondial par l'UNESCO

En général les orgues sont plutôt verticales (d’où leur nom ) mais celles de Scandola partagent avec celles d'Islande la particularité unique d'être horizontales.

Cliquer chaque photo pour l'agrandir dans une nouvelle page.

Lors du refroidissement des coulées de lave (fin de l'ère primaire),
le magma s'est cristallisé en barres verticales qui se sont affaissées et retrouvées ainsi couchées horizontalement.

En Corse des couches rouges rhyolitiques (orgues rhyolitiques) alternent avec des coulées de basalte gris.

Les paysages de Corse sont spectaculaires : corniches de Scandola, solitudes du Capu Rossu, golfe de Girolata et son fortin génois...
Créée le 9 décembre 1975, Scandola fut la première Réserve Naturelle de France à double vocation : maritime et terrestre.

  Et la bulle !
 Voir aussi pourquoi la bulle prend une forme sphérique comme une bulle de savon ici :
http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/bulles_savon_simple.htm#trois

La zone géothermale de
Geysir est très célèbre pour ses geysers (et leur a d'ailleurs donné son nom).

Toutes les 7 à 10 minutes, le Geyser Strokkur expulse sa colonne d'eau à 20 mètres de haut pour le plus grand plaisir des visiteurs.
Ce que l'on apprécie le plus est la magnifique bulle bleu turquoise qui surgit juste avant que la vapeur ne la transperce. Chauffée en profondeur l'eau plus légère remonte en surface. Une bulle énorme se forme, enfle puis éclate. Une colonne d'eau et de vapeur jaillit. Aucun autre geyser ne présente cette particularité.


Une
calotte sphérique de toute beauté !

 Les trolls et les elfes
Les légendes islandaises regorgent de créatures mythiques dont les plus connues sont les trolls et les elfes. L'île est le paradis des elfes, trolls et autres créatures fantastiques qui peuplent ses recoins.
Pour peu qu'on y fasse attention, notre regard et notre imaginaire se perdent et on devine ceux que les islandais appellent "le peuple caché"...
De cette nature volcanique émane une énergie que notre petit groupe a ressentie grâce à Thor (Þór ou Dieu du Tonnerre dans la mythologie nordique), un guide exceptionnel.


Les trolls
Ils sont méchants, cruels, infiniment laids, forts et trapus mais plutôt sots. Ce sont un peu l'équivalent de nos ogres.
Ils ont cependant des points faibles notamment la boisson et les rayons du soleil :
si le troll n'a pas regagné sa caverne lorsque le jour se lève alors il est pétrifié à tout jamais et nous avons croisé de nombreux trolls pétrifiés (heureusement) durant notre voyage.

Aiguilles de
Reynisdrangar : des rochers érodés par la mer ?
Non bien sûr, ce sont deux trolls malveillants occupés à échouer et piller un bateau 3 mâts sur la belle plage noire de Vik.
Trop préoccupés par leur mauvais coup, ils ont été pétrifiés au petit matin par les premiers rayons du soleil.



Le baiser de deux trolls surpris et pétrifiés par la lumière du jour à Þingvellir.

Þingvellir est un site placé à la jonction des plaques tectoniques américaines et européennes. Entre les deux continents c'est une véritable cicatrice de la croûte terrestre. C'est là que les vikings islandais ont créé en 930 (après J.C.) la plus vieille démocratie du monde.


Les elfes
La culture liée aux esprits de la nature et aux elfes (peuple invisible) est particulièrement marquée. Cependant nous ne les avons pas vus, certains prétendent les voir ou leur parler.

Ici, on parle des elfes avec le plus grand naturel et c'est bien agréable de voyager en écoutant ces légendes tout en s'imprégnant de leur présence...
Aujourd'hui encore, il paraît qu'un islandais sur deux croit à l'existence du huldufólk, le peuple caché. C'est une chose sérieuse et dans un pays où la nature est aussi imprévisible, il est difficile de s'en tenir au rationnel pur.

Plusieurs légendes expliquent leur origine.
Voici la plus connue :

Elle raconte que Dieu rendit visite à Adam et Eve mais qu'Eve n'eut pas le temps de laver tous ses enfants avant son arrivée.
Elle ne lui présenta donc que les propres et cacha les autres à sa vue mais Dieu ne fut pas dupe et décréta que puisque c'était ainsi, les enfants qu'elle lui avait cachés le resteraient à tout jamais aux yeux des hommes d'où leur nom de peuple caché.
Ils ont la réputation d'être beaux, minces, petits comme des enfants, malins, espiègles, bienveillants ou indifférents aux hommes.
Vivant en parallèle de notre monde, tant qu'on les laisse tranquilles ils nous laissent tranquilles.


Nous avons remarqué la présence de quelques pierres entassées dans un coin sauvage. Il s'agit d'habitats pour les elfes.
Quand on construit une nouvelle maison, la tradition veut qu'on réserve une petite place aux esprits qui habitaient les lieux auparavant afin de rester en bons termes avec eux et s'assurer de leur bienveillance.




 Photos mystérieuses
J'ai pris ces photos (ici compressées) de mon hublot en avion, en arrivant en Islande.
J'ai d'abord cru que c'était un iceberg dérivant, d'une très jolie forme, recouvert de cendres. Pas eu de réponse à mon arrivée...


Maintenant après quelques recherches, je pense qu'il s'agit de l'île nommée Surtsey qui est née le 14 novembre 1963 après une éruption sous-marine.






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